3 Boole

صفحه 1:


صفحه 2:
, oa ao oe 0 یه کتاب ‎Digital Design‏ نویسنده: موریس مانو 

صفحه 3:
لاسيستم دودويى و روش های 8505 5 ‎BCD)‏ 45,5 همینگ. افزونی سه و ..) آساجبر بول و گیت های منطقی ‎»gAnd, Or, Nor, Nand‏ آساده سازی اسلم کیت جدول کارن لا کوینن مک کلامنکی [امدارهای ت رکیبی (اه«هناههنط6) 0ن جمع کننده» ضرب کننده, تفریق گره مقایسه گر ‎De-multiplexer Multiplexer O‏ انکدر. دیکدر ۵ ۰۲۸۲ ۳۸۵۸۸۰۳۱۸ آسامدارهای ترتیبی (ا۵ا666060) ‎(Synchronous);lo;02‏ ‏3 ليب فلاب 0 رجيستر 3 حافظه ۵ شمارنده مدل مور و ميلى نا غير همزمان(700105داء0تزوه) 

صفحه 4:
خب ۱7 #نحوه نمره دهی #حضور و غیاب۱ نمره #فعاليت كلاسى ‎١‏ نمرة #كوبيز | نمره #ميانترم 0 نمره(0/11) #پایانترم ‎٩‏ نمره(۷]2) > 1211-22 21) - ‎۱٩‏ ‏#تمرين ۵ نمره(22 +4 61) #مجموع ۲۲ نمره 

صفحه 5:
۳ ا س مطالب 1 ا 0 یادآوری جبر بول. اصول و قضابا ساده:سازی عباراث بولی جدول درستی 

صفحه 6:
خب ۱7 روش های جبری برای تحلیل و طراحی مدارهای منطقی 

صفحه 7:
دستگامهای دیجیتالی ل جبر بول: * يك عبارت منطقی می‌تواند "درست" یا " نادرست" باشد (۰ یا ۱). 7 شامل فرمول‌های جبری مربوط به ترکیب های مقادیر منطقی است. ‎٩‏ درسطح سخت افزار: 7 هر عبارت منطقی با یک سیگنال الکتریکی نشان داده می شود. 7 ارزش منطقی هر عبارت با ولتاژ الکتریکی سیگنال. مشخص می شود. 

صفحه 8:
7 "دستگاه‌های دیجیتالی مثال: سطح ولتاژ ‎Yb‏ ک کگبارت درست است. سطح ولتاژ پائین > كارت نادرست است. * عملكرهاى منطقى با كيتهاى منطقى بيادهسازى مىشوند. 

صفحه 9:
خب ۱7 جبر بول " جرج بول (1814-1816) يك روش سيستماتيك براى كار با عبارات منطقى طراحى نمود. * او يك مجموعه كامل از قواعد زا طراحى نمؤة كه برای تعزیف یک نوع جديد از جبر يعنى جبر بول كافى بودند. (مثل جبر خطى) تعدادى زيادى از قوانين شبيه قوانين معمولى جبر خطى هستند. 

صفحه 10:
- اصول جبر بول . بسته بودن 051016): جبر بول روی مجموعه 40,1 < 6 تعریف می گردد. برای هر 26 و 7 متعلق به 1 " x+y Isin k » ok Vo isdn ‏عل‎ ۲ اصل ‎cl, :Commutative plale‏ هر /[ ,ك1 متعلق به ع ‎xty=ytx‏ " ا دبع اه “: قوانين انجمنى ©45500121117 : براى هر ,7 ,كا متعلق به ع 2 +7 + < 2 +) + < 2 +( +عر) ۰ 22 = (2:). < 2.() ۰« 

صفحه 11:
- اصول جبر بول 9 4 قوانین توزیع پذیری 15/71106176 : برای هر2 7 ,كا متعلق به ع ‎(x+ y)\(x+ z) [+ is distributive over .]‏ ع ‎x+ (y%z)‏ " ‎x(y+ 2( = (xy) + (xz) — [. is distributive over +]‏ " ‎(paz) [Ss .0‏ 0110016126011): برای هر عضو ع مثل ۶ یک عضو مثل 6" وجود دارد بطوریکه: ‏1ج زر +ایر جح اهر جاور ‎" xX. xX’ =x.x=0 ‏* . برای نمایش مکمل از نيز استفاده می شود. 

صفحه 12:
- اصول جبر بول identity 2 p61 می گوییم مجموعه 16 دارای یک عضو ختلی نسبت به عمل 1.1 در 16 است اگر عضوی مثل ۱ در 6 وجود داشته باشد بطوریکه: 3 1.x=x.1=x می گوییم مجموعه 16 دارای یک عضو خنثی نسبت به عمل (+) در 6 است اگر عضوی مثل ۰ در 6 وجود داشته باشد بطوریکه: 5 0 ٩ ۶ - 2 + 0 ‏عع‎ لا نكته: در نوشتن عبارات بولى مى توانيم عملكر ضرب را نكذاريم. - 21 

صفحه 13:
- قضایای جبر بول ۷ خاصیت خودتوانی ‎Idempotency‏ : " Theorem 1(a): = Theorem 1(b): X+ X=X X.X=X X+ x=(x+x).1 xX, x=xxt+0 =(X+ x)(x+ xX) =XX+ xX =X+ XX =x Xx+ xX) =x+0 =x.l =x =X 

صفحه 14:
Gah ‏زپول(‎ 1 یک عبارت بولی یا تابع منطقی تشکیل شده است از تعدادی عملگر و متغیر که ارزش آن براساس ارزش متغیرها تعیین می شود. ‎Fla,B =ab+ a+b‏ ‎F(a,b0 =a+ b+ act be‏ ‎FUWX y, 2) =xya (xX+y)+ waewy‏ | هر متغیر بولی می تولند یکی از دو مقدار »یا ۱ را اختیار کند. لذا ارزش یک عبارت بولی بر اساس ارزش متغیرهایش یا درست(یک) است و با تادرست(صفر): | تابعی که بر اساس 12 متغیر تعریف می شود. يك تابع 17 متغيره تاميده مى شود 

صفحه 15:
| برای تعیین ارزش یک عبارت بولی, دانستن اولویت عملگرها ضروری است. 1 یک تابع جبری می تواند دارای عملگرهای ضرب. جمع» مکمل گیری و پرانتز باشد. تقدم هر کدام از عملگرها روی متغیرها به ترتیب زیر است: | پرانتزها (از درون به بیرون) ۱ متمم ‎(Not)‏ ‏1 ‏1 (xt yxy (OF) ‏جمع‎ 

صفحه 16:
| تابع منطقی با استفاده از تعدادی عملگر و متغیر تعریف می شود. | ارزش تابع منطقی در حالات مختلف ارزش متغیرهایش در جدولی موسوم به جدول درستی قابل بیان است. لا یکی دیگر از روشهای بیان تلبع بولی استفاده از جدول درستی است. ا روشئى است برای نشان دادن درست یک رابطه و درستي قضاياى جبر بول 

صفحه 17:
تسس ] مرگاه اثبات جبری طولانی باشد می توان از جدول درستی استفاده نمود. هردو طرف رابطه به ازای تمام حالات ممکن از متفیرها چک می شود اگر تمام حالات نظیر به نظیر برابر باشند. رابطه داده شده درست است. .. Eplepele ye Ve 1 ه اد | دد | در ه اد | دد | دب ه | ه | ه | دد ه | ه | ه | دد ه اه | دد | دب ه || | دب 

صفحه 18:
1 1۱11| 1 1۱0۱1۱ 0 11| 0۱ 0 1 0۱11| 1 1۱0۱0۱ 0 0 0011| 0 0110| 0 (x+z) (x+y) x|y|z| yz | + | ‏اجب‎ رست 

صفحه 19:
مثال : جدوا تسیچ ‎Zt ,C)=AB+AC+HAC‏ بدست آورید. ‎ABC ABO ABC 12,0‏ ‎FFF F‏ 0 000 ‎BEG 7‏ 1 001 ‎FIF F‏ 0 010 ‎FIT 17‏ 1 011 ‎TFF ce‏ 1 100 1 0 101 ‎ae 4‏ 1 110 ‎ay 1‏ 1 111 

صفحه 20:
0 اگر در یک عبارت بولی تمام ضربها را به جمع و تمام جمع ها را به ضرب و نیز تمام یکها را به صفر و صفرها را به یک تبلیل کنیم دوگان ‎Of‏ عبارت بدست می آید. 0 هر قضیه‌ای که برای یک عبارت بولی برقرار باشد برای دوگان آن عبارت نیز برقرار است. 

صفحه 21:
Null Element gy, 520 " Absorption S3els"_ x+1=1 X+ XV=X : ‏(1-1.)2+1جير‎ =(x+ x)(x+1) =xtx1 " بنابراين طبق اصل دوكان داريم: ‎x0=0‏ ‎X(x+ =X‏ 

صفحه 22:
و * قاعده شبه جذب oe xe ty pies x(xeey) —etexy X+ X y=(x+ X).(x+ y) =0+ xy =1.(x+ y) =xy at * قاعده اجماع 00256715175 abt 2 ‏جراج عر[ بی‎ 0 (a+ D(a'+ (b+ 0 =(a+ (at) 

صفحه 23:
و۳۳ رو و - رز ‎(x+‏ ‎(xy'=x+y‏ این قانون می تواند به صورت زیر تعمیم پیدا کند: (x+ ‏جر‎ ...+ (۵ 4 7 جر .+ جر < (.....267) - قانون رجعت «متمم متمم) ‎Anvolution‏ a=a 

صفحه 24:
ae 7 همانند قانون دمورگان قضیه خودتوانی نیز قابل تعمیم است. ۲ درستی این روابط از طریق استقرا قابل اثبات است. ‎(x+ X4+..4 9 =X‏ اح ‎(XX... KX‏ ul (Shannon’s expansion) ots bo 23 ¥ ‏ذکر مثال تحقیق نمایید.‎ 

صفحه 25:
(a). Ax, X, .., X,) = X, M1, X, .., X,) + (x)' (0, By ‏ریک رد‎ ‏ر... ولا رگ ۰(ظ)‎ X,) = Lx, + HO, x, ..., (1 ‏(ر2)]‎ ‎£1, Xy «4, X)] :مثال 0 ۸0 + ۸8 ع (ارظر4 1 © 0,8,0 'ك + ,11,8 4 ع 'لى + 40 + هله ع (0 ,رز ۰ (0 0*۷ + 0*0 + 20۷۰ + 1*0 + 1*0 + هركا 4)1 -< 0م + ري + )۸4 + 8']24)0 + [ن'م + (0 +۸1 < ۸0 +(6 + ‎A(B‏ 5 ‎ea‏ ‎ape ee ee a eG aT‏ ° fA BC) =AB+ A BC+ ABC+A'BC AB + A'Bx1 + AB'x1' + A'B'x1] + C[AB + A'Bx0 

صفحه 26:
1 مکمل هر تابع را می توان به کمک قانون دمورگان بدست آورد. ‎Gals FUL Fav Ls 0‏ می دهند. مقدار ۳ ول همواره مخالف هم می باشد. ۲ دوگان یک تلبع رابطه مستقیمی با خود تلبع ندارد ولی اگر در دوگان تلبع, کلیه متغیرها به متمم و متمم هابه خود متغیر تبلیل شونده متمم تابع بدست می ‎whl‏ oe F=(ABtOD+E ‎FP 0‏ ود جر زر دای ‏0 لاط ۲ ۵۴+ (۸9)]- ( 20 ‎=x) =x =(A+B)C E+DE 

صفحه 27:
اه کودن ارات ۰.۳ ۰ ۱ لا با اسفاده از قضایا و اصول جبر بول می وان عباراث منطقی را ساده نمود. )۲۷+ 2+ ۲+2 ()۲۷+ 20+ 1۳+ 2()۲۷+ 2+ ۲+ 2()۲۷+ + ۲+ 2( <)۷۷+ +۲۲ ()۷۷+۵۷۲ + Z')(W#X'+Y + Z) =(W+X4+Y)(W+X'+Y) =(W+X') 1 ۸0+ ۸۳0 < B+ABC'D=B+ACD =AQB+ B) =AC (X+ Y)(X+ Y)'+ Z)=(K+ Y)Z 

صفحه 28:
2 =w.(y+ x'y+xy+ xz) =w.(yty(x+x)+ xz’) =w.(yty+ xz’) | (a(bt c)+ab)'=(ab+ act ab)! =(b+ac)' AB+ A'CD+ BCD=AB+ A'CD =b{ac)' ‏(ه +ع)<‎ ل با استفاده از قضایا و اصول ساده کنید. AB+ABC+ABCD+ ABCDE+ ABCDE} 

صفحه 29:
تحليا ترکیبی منطقی رس ارات پیاده سازی مد ۹ 3 : 8 31 201" تابع ‎et‏ 8 1 5 6 متعارف به ی لا تبديل فرمهاى 

مدار منطقی 1   -مراجع کتاب ‏Digital Design نویسنده :موریس مانو 2  فهرست مطالب 3  :نحوه نمره دهی ‏حضور و غیاب 1نمره ‏فعالیت کالسی 1نمره 1نمره ‏کوییز ‏میانترم 5نمره()M1 ‏پایانترم 9نمره()M2 5نمره()a1+a2 ‏تمرین ‏مجموع 22نمره 4  (19 = )a1×M1+a2×M2  رئوس مطالب ‏ ‏ 5  یادآوری جبر بول ،اصول و قضایا ساده سازی عبارات بولی جدول درستی روش های جبری برای تحلیل و طراحی مدارهای منطقی دستگاه‌های ديجيتالی جبر بول: یک عبارت منطقی می‌تواند ”درست“ یا ” نادرست“ باشد ( 0یا .)1 شامل فرمول‌های جبری مربوط به ترکیب های مقادیر منطقی است. درسطح سخت افزار: هر عبارت منطقی با یک سیگنال الکتریکی نشان داده می شود. ارزش منطقی هر عبارت با ولتاژ الکتریکی سیگنال ،مشخص می شود. دستگاه‌های ديجيتالی مثال: سطح ولتاژ باال سطح ولتاژ پائین عبارت درست است. عبارت نادرست است. عملگرهای منطقی با گیت‌های منطقی پیاده‌سازی می‌شوند. جبر بول جرج بول ( )1864-1815یک روش سیستماتیک برای کار با عبارات منطقی طراحی نمود. او یک مجموعه کامل از قواعد را طراحی نمود که برای تعریف یک نوع جدید از جبر یعنی جبر بول کافی بودند( .مثل جبر خطی) تعدادی زیادی از قوانین شبیه قوانین معمولی جبر خطی هستند.  اصول جبر بول .1بسته بودن :Closureجبر بول روی مجموعه } k = {0,1تعریف می گردد .برای هر xو yمتعلق به :k ‏ ‏x + y is in k ‏ ‏x.y ‏is in k .2اصل جابجایی :Commutativeبرای هر x, yمتعلق به k ‏x+y=y+x ‏x.y=y.x .3قوانین انجمنی : Associativeبرای هر x, y, zمتعلق به k ( x + y ) + z = x + ( y + z) = x + y + z (x.y).z = x.(y.z) = x.y.z 10  ‏ ‏ ‏ ‏  اصول جبر بول .4قوانین توزیع پذیری : Distributiveبرای هر x, y, zمتعلق به k ] x + (y.z) = (x + y)(x + z) [+ is distributive over . ) x.(y + z) = (x.y) + (x.z ][. is distributive over + .5مکمل (متمم) :Complementبرای هر عضو kمثل xیک عضو مثل ’xوجود دارد بطوریکه: ‏x + x’ = x’+ x =1 ‏x . x’ = x’. x = 0 ‏ 11  برای نمایش مکمل از xنیز استفاده می شود. ‏ ‏  اصول جبر بول .6عضو خنثی :Identity می گوییم مجموعه kدارای یک عضو خنثی نسبت به عمل { }.در kاست اگر عضوی مثل 1در kوجود داشته باشد بطوریکه: ‏ 1.x=x.1=x می گوییم مجموعه kدارای یک عضو خنثی نسبت به عمل { }+در kاست اگر عضوی مثل 0در kوجود داشته باشد بطوریکه: 0+x=x+0=x نکته :در نوشتن عبارات بولی می توانیم عملگر ضرب را نگذاریم. ‏x.y  xy 12  ‏  قضایای جبر بول: Idempotency خاصیت خودتوانی  Theorem 1(a): x  x x x  x (x  x) .1 (x  x)(x  x')  x  xx' x  0 x  Theorem 1(b): x. x x x . x  xx 0 xx xx'  x(x  x')  x .1 x 13  عبارت بولی (تابع منطقی) یک عبارت بولی یا تابع منطقی تشکیUل شده است از تعدادی عملگر و متغیر که ارزش آن براساس ارزش متغیرها تعیین می شود. ‏F(a,b) a.b  a'b 'F(a,b, c) a  b ac bc ‏F(w, x, y, z)  xyz (x' y')  wx'w' y هUر متغیUر بولUی مUی توانUد یکUی از دو مقدار 0یا 1را اختیار کند .لذا ارزش یUک عبارت بولUی بر اسUاس ارزش متغیرهایUش یUا درسUت(یک) است و یا نادرست(صفر). تابعUی کUه بر اسUاس nمتغیUر تعریUف مUی شود ،یUک تابع nمتغیره نامیده می شود. 14  اولویت عملگرها در عبارات بولی برای تعییUن ارزش یUک عبارت بولUی ،دانسUتن اولویUت عملگرها ضروری است. یUک تابUع جUبری مUی توانUد دارای عملگرهای ضرب ،جمUع ،مکمل گیری و پرانتUز باشد .تقدم هUر کدام از عملگرهUا روی متغیرهUا به ترتیب زیر است: ‏ ‏ ‏ ‏ 15  پرانتزها (از درون به بیرون) متمم ()Not ضرب ()And جمع ()Or '(x  y)' x' y  جدول درستی ()Truth Table تابع منطقی با استفاده از تعدادی عملگر و متغیر تعریف می شود. ارزش تابUع منطقUی در حاالت مختلUف ارزش متغیرهایش در جدولی موسوم به جدول درستی قابل بیان است. یکUی دیگUر از روشهای بیان تابع بولUی اسUتفاده از جدول درستی است. روشUی اسUت برای نشان دادن درس تی ی ک رابط ه و درستي قضايای جبر بول 16  n 2 تابعی که nمتغیر دارد جدول صحت آن سطر دارد. هرگاه اثبات جUبری طوالنUی باشUد مUی توان از جدول درسUتی استفاده نمود. هردو طرف رابطUه بUه ازای تمام حاالت ممکUن از متغیرهUا چUک مUی شود اگر تمام حاالت نظیر به نظیر برابر باشند ،رابطه داده شده درست است. ‏x+ y+ ‏y.x ‏x.y ‏y ‏x 17  ‏y ‏x 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 .y=y.x +y=y+x  آزمون درستی توزیع پذیری +نسبت به .)(x+y )(x+z 0 0 ‏x y z y.z x+y.z x+ x+z ‏y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ΄f(A,B,C) = AB + A΄C + AC جدول درستي را براي تابع: مثال .بدست آوريد ABC 000 001 010 011 100 101 110 111 f(A,B,C) 0 1 0 1 1 0 1 1 ABC f(A,B,C) FFF F FFT T FTF F FTT T TFF T TFT F TTF T TTT T قضيه دوگان ()DualityOr ‏And 1 ₪اگر در یک عبارت بولی تمام ضربها را به جمع و تمام جمع ها را به ضرب و نیUز تمام یکهUا را بUه صUفر و صUفرها را بUه یUک تبدیUل کنیم دوگان آن عبارت بدست می آید. ₪هUر قضیه‌ای کUه برای یUک عبارت بولUی برقرار باشUد برای دوگان آن عبارت نیز برقرار است. 20  0  قضایای جبر بولNull Element عضو پوچ x  11 x  11.(x  1) (x  x')(x  1)  x  x'.1  x  x' 1 Absorption قاعده جذب x  xy x x  xy x(1 y)  x.1 x : بنابراین طبق اصل دوگان داریم x.0 0 x.(x  y) x 21   قضایای جبر بول- x.(x' y)  xy x.(x' y) xx' xy 0 xy  xy قاعده شبه جذب Redundancy x  x' y  x y x  x' y (x  x').(x  y) 1.(x  y) x  y Consensus قاعده اجماع ab a'c  bcab a'c (a  b)(a'c)(b  c) (a  b)(a'c) 22   -قانون دمورگان :DeMorgan '(x  y)' x'.y '(x.y)' x' y این قانون می تواند به صورت زیر تعمیم پیدا کند: '(x  y  ... t)' x'.y'...t '(x.y...t)' x' y'... t -قانون رجعت (متم ِم متمم) :Involution ‏a a 23   قضایای nمتغیره ‏ همانند قانون دمورگان قضیه خودتوانی نیز قابل تعمیم است. درستی این روابط از طریق استقرا قابل اثبات است. (x  x  ... x)  x (x.x...x)  x قضیه بسط شانون ( )Shannon’s expansionرا با ذکر مثال تحقیق نمایید. :قضیه بسط شانون (a). f(x1, x2, …, xn) = x1 f(1, x2, …, xn) + (x1)' f(0, x2, …, xn) (b). f(x1, x2, …, xn) = [x1 + f(0, x2, …, xn)] [(x1)' + f(1, x2, …, xn)] f(A,B,C) = AB + AC' + A'C  f(A,B,C) = مثال: AB + AC' + A'C = A f(1,B,C) + A' f(0,B,C) = A(1×B + 1×C' + 1'×C) + A'(0×B + 0×C' + 0'×C) = A(B + C') + A'C  f(A,B,C) = A(B + C') + A'C = B[A(1+C') + A'C] + B'[A(0 + C') + A'C] = B[A + A'C] + B'[AC' + A'C] = AB + A'BC + AB'C' + A 'B 'C  f(A,B,C) = AB + A'BC + AB'C' + A'B'C = C[AB + A'B×1 + AB'×1' + A'B'×1] + C'[AB + A'B×0  مکمل تابع مکمل هر تابع را می توان به کمک قانون دمورگان بدست آورد. مکمUل تابUع Fرا بUا ’FنمایUش می دهند .مقدار Fو ’Fهمواره مخالف هم می باشد. دوگان یUک تابUع رابطUه مسUتقیمی بUا خود تابUع ندارد ،ولUی اگر در دوگان تابUع ،کلیUه متغیرهUا بUه متمUم و متمUم هUا بUه خود متغیUر تبدیUل شونUد ،متمم تابع بدست می آید. ‏F ( AB'C)D' E ']F' [(AB'C)D' E '[( AB'C)D']'E '[(AB'C)' D'']E '[(AB')'C' D]E '( A' B)C' E' DE 26  )F  x(x  y ‏Fdual[x(x  y)]  x  xy 'F ' x' x' y )' x'(1 y ' x'(1)  x  ساده کردن عبارات منطقی. با استفاده از قضايا و اصول جبر بول می توان عبارات منطقی را ساده نمود (W' X 'Y'Z')(W' X 'Y'Z)(W' X 'Y  Z')(W' X 'Y  Z) (W'X'Y')(W'X'Y  Z')(W'X'Y  Z) (W' X 'Y')(W' X 'Y) (W' X ') B  AB'C'D B  AC'D ABC AB'C   AC(B  B')  AC (X  Y)((X  Y)'  Z)(X  Y)Z 27  wy' wx'y  wxy wxz'  w.(y' x'y  xy  xz')  w.(y' y(x'x)  xz')  w.(y' y  xz') w (a(b c) a'b)'(ab ac a'b)' (b ac)' AB  A'CD  BCDAB  A'CD b'(ac)' b'(a' c') . با استفاده از قضايا و اصول ساده کنید AB  ABC ABCD ABCDE ABCDEF 28   -جلسه آینده تحلیل و پیاده سازی مدارات منطقی ترکیبی مینترم و ماکسترم فرم های نمایش استاندارد تابع منطقی نمایش دهدهی ‏SOP  ‏POS  تبدیل فرمهای متعارف به یکدیگر 29 