صفحه 1:
بسم الله الررحمن الرحیم
=
=
=
_=
a=
=
5
_2>
Ze
هه
==
_=
_=
=
=
f=
2
هه
Zo
7”
a
3
2ك
2 <<
=
صفحه 2:
صفحه 3:
ا"
ad
د
=
ا
2-5
5
د 5
ا
د
E>
i=
3
ك2
i=
=
هه 2
z=
i=
»
”7
A
t=
2
f=
=
صفحه 4:
۱04۷۱۱۱۹۰۵۰۵
صفحه 5:
a
تعریف: هر گاه » يك منحنی(منحنی هادی
اين صفحه باشد. خطي كه منكي بر ae
000 نام دارد ie
*مثال: 1< 7 +عر :»
2
*استوانه 1 نز مر L:Z=0 DP
۱«"(صچ«(,( 9" «آىث«آ‌ظ 1101000000000
صفحه 6:
سس 3
صفحه 7:
fx y,2 =0
راه حل كلي حل مسایل:فرض 0= diana
3 e
este Goh يك مولد استوانه D هادي و
* را به شکل فصل ax+ by+ GZ="
*۴مشترك دو صفحه در نظر میگیریم و دستگاه
معادلات حاصل را با حذف 2,۷,2 حل
میکنیم و سپس بجاي/.2 مقدار میگذاریم.
معادله استوانه بدست میاید.
ااا او
صفحه 8:
5
مثال:معادله استوانه اي رأ بنويسيد كه خم
هادي و امتداد مولد آن داده شده است:
ج < 27 + تر + قر
كك 7
5 لا " ۲ 2-5 X+ y+
=
=
=
2
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 9:
3
مه
~
63| بس
1
MIN
ft
5
Il
NiO
MIN MIN
S
صفحه 10:
ادامه حل:2 ,6,۷ را در معادله کره قرار میدهیم:
+1 ع مقر +r 5 جک
531
برد 9
ee 2
4 36¢ 144 16
سار cele رد « جايگذاري را بر حسب
X,Y,Z داریم:
WY
Zi
cs
صفحه 11:
3
:ادامه حل
X22. AeA اك
YP + 2545-37 1205-G- (+ -765
xX
XxX Z
اا a- 30, 202-657
:يس از ساده كردن نتيجه نهايي جنين ميشود
ج40 جتقه6 - غ28 +762 +222
167-653 -108 جره7 عرج6 1 -
۱۱۱۱۱۱۰۱۱۱۱۱۷۰ ۹۰/۰/۱
صفحه 12:
:
صفحه 13:
تعریف: سای ۰ وخط bE را که هر دو روي
يك صفحه واقع هستند را در نظر میگیریم:ا گر
؛ (مولك رویه) حول با (محور دوران) دوران
کند. رویه ای ایجاد میشود که رویه دوار نام
دارد.
روش حل:در صورتي که منحني در يکي از صفحات
مختصات و محور دوران يكي از محور هاي مختصات باشد
كافي است در معادله منحني فقط بجاي نام متغيري که محور
دوران نیست جذر مجموع مربعات دو محور غیر دوران را
.جايگذاري کنیم
NY
و
صفحه 14:
3
معادله رويه دوار محور دوران معادله منحني
1")3,77( | جر /+<) "1 |محور ع3 2) -0
Y y9| Fl) ¥+ 7.) =0
=0
Z=0 Flys| ¥+ 7) =0
F(Y,Z) | و خر +غر مت |محور -0
-0 2 محور FAizs| x+ y) =0
X=0 2 [ 2 2,9 =0
F(z,X) | 2 محور
۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ ۱ ۱ ۱/۱
صفحه 15:
۴
مثال: روبه حاصل از دوران خم 1 2617
حول محور غدرا بيدا كنيد.
x) V+ Z=1
7
ie
صفحه 16:
|
iS
ساير رويه هاي درجه -3
۷ ۱۱۱۱۱۱۱۸۱۱۱۱۱۱۱۱ ۵
صفحه 17:
5
اصول كلي رسم نمودار رویه ها:
* 1- محل برخورد با محور هاي مختصات را
بدست آوریدمثلاابا قرار دادن 3-2-0
۴- محل برخورد با صفحات مختصات را
بدست آوریدمثلاابا قرار دادن 200
* 3- محل برخورد با صفحات موازي صفحات
مختصات را بدست آوریدمثلابا قرار
Z=K solo
w
۱۱۱۱۱۱۰۱۱۱۱۱۷۰ ۹۰/۰/0
صفحه 18:
WY
7
۳2
صورت كلي رویه هاي درجه دوم:
چرزتر جن‌ررز + تن + #و + Ax 2
+ Pom Gx fy Ia J =0
حالت خاصاكر ضراب خملات حاصاضرب
alae lene
Ax + BY + C2 + Gxt Hy
+ iz] =0
:
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 19:
روش حل مسایل حالت خاص:
*عبارتهاي درجه دوم در معادله را به مربع
کامل تبدیل کرده ومعادله را به يكي از
صورتهاي استانده(استاندارد) در میاوریم.
؟معادلات استانده در ادامه توضیح داده
خواهدشد.
0
صفحه 20:
۴
2 م
rag Bal
Cc
ل
.<>
3
۱
۱
3
%
&
‘sb
1
E
صفحه 21:
رج
صفحه 22:
2
3-2- هذلوليوار يك يارجه:
-1
De.
روش شناخت:
سه جمله مربع که فقط يك جمله منفی «که نشان دهنده
محور شکل است) سمت چپ وعدد بك سمت اد
تساوي.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
صفحه 23:
سس 3
صفحه 24:
zi
3-- هذلولیوار دو پارچه:
روش شتاخت:
سه جمله مربع که دو جمله منفی سمت چپ (جمله مثبت
نشان دهنده محور است) وعدد يك سمت راست تساوي
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 25:
سس 3
صفحه 26:
5
دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله درجه يك در سمت ديكر
تساوي .همه جملات هم علامت (جمله درجه يك نشان دهنده محور است
=
=
=
2
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 27:
3
۱
صفحه 28:
5
3-4- سهمیوار ogee, اسبي):
د
a B
دو جمله مربع مختلف العلامه در يك سمت ويك جمله درجه يك در
سمت دیگر تساوی (جمله درجه يك نشان دهنده محور است)
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
4
۱۰۰۳۱
صفحه 29:
3
۱
صفحه 30:
روش شناخت:
دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله مربع در سمت
دیگر تساوي (جمله تکي نشان دهنده مجور است)
صفحه 31:
صفحه 32:
3
مثال‌نرویه زير ا 0
y=0 +37 2+
>
حل:
26 ¥+Ayr— at 32-0
1
6¥ 2 Ea =e
= + (y+) 8
هذلوليوار يك يارجه
(0011011
صفحه 33:
روش حل مسایل روبة ها در حالت کلي:
1 ماتریس صورت درجه دوم را مینویسیم.
2مقادیر ویژه را بدست میآوریم(ضرایب جملات درجه
دوم جدید)
3بردارهاي ویژه را بدست میاوریم.
4ماتریس تبدیل مختصات را مینویسیم(با قرار دادن
بردارهاي ویژه يکه در ستونها).
5-معادلات تبدیل مختصات را بدست میآوریم و در
عبارت درجه يك قرار میدهیم.
6- نتیجه بند2و5 را در يك عبارت ساده میکنیم.
یت یز
صفحه 34:
مثال‌نرویه درجه دوم زیر را شناسایی کنید:
427-0 +3 +2 +2 4 عود 4 + +47 بغر3
حل: 2-2 +
3 2-0] BA 2 O
2 4 م-2- 4 2 ادا
2|0 -2 5 0 -2 5-2
2 )3- 2()4- 2()6- 2(+ 0+ 0- ]0+ 4)3- 2(+ -قلة 2(
2 )3- 20) - 92+ 20+ 8 - 32-02
=- J°+9)"- 204+3]?- 27+60782- 3220+
=
=
=
=
2
=
=
=>
=
=
=
=
صفحه 35:
WY
Zig :ادامه حل
2- +12 - 39+ 28202
50-1 ۳+11 29 <02 - 0-10-40 7
2x+ 2y=0 x=
=0= 4 2x+3y- 2z =0= ge
م -
>
- 2y+4z=0
صفحه 36:
۱۱۱۱ ۷/۸
on
Ss
۱
2
0
-2
2
1
2
27-0 +4 -
5-5 22-0 3 عر2
227-0 2 -
۱۱۱۱/۸/۷
صفحه 37:
ادامه حا wo Sle: تندبا , مختصات:
۶ | 1 2 2- 1 22 =
2 ل 2 1 ally
1 2 -2 1 2 - 22
معادلات تبديل مختصات كه بايد در عبارت درجه يك
مد oy yea) جايگذاري کرد:
a
3
H+ 22), 225 (4 2y- 22) نم سر
WY
“as
صفحه 38:
دامه حل:حال ر را بترتیب ضریب 2 ,كاج
و معادلات تبدیل مختصات را در عبارت
درجه يك قرار نت
07
0
<
+
Ay? +72? += 3 +عرر 2+ 2(+
صفحه 39:
WS
:ادامه حل
4(f+= 2 Oud =20 +14 -?)¥4+1(
, 7 25
+1)?+ yz? -2 0+ 1+ 2
)2+1(* + 7 3) 7 16
بیضوی است.
=
=
eed
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 40:
ره
لال
صفحه 41:
( ارت)ع<(زرجظ۸
(x,y) 0 a ie
y=rsind
0
صفحه 42:
Ks
10, 7,2(< 1 a
مختصات استوانه ای
7-23
y=rsind
2-2
تررم ]۷
x= “ترم - 0
حير o=tan®):
2-2
ةا ووو
صفحه 43:
معرفی بعضی شکلها در مختصات استوانه ای:
20 محور 2 است.
2
X+ V=C معادله استوانه در مختصات دكارتي
3120 معادله همان استوانه در مختصات استوانه اي
۱
6-64 مجموعه نیم صفحه شامل محور 2 و نیم خط
r=0
26 معادله يك صفحه که محور 2 برآن عمودات
OOOOOPDDOO DOOD DOOD OOOON
صفحه 44:
:مختصات كروي
X=psingco#
Y=psingsin
Z=pCosp
pry xt + تج
0 تما
۱
=
5
i
3
x
:قرار داد 0
tan2: x<0 > 0 رجک 0> ۰-7 ,0< م
cose
005 7
HOOODODDOO DO DOO OODOOD
صفحه 45:
ي بعضي شکلها در مختصات کر
معرقي وي
۸ = مرح 2 ۳
X+V+Z r .
lo
Bas
ي شعاع ۲ در مختصات د کار :
arises 0),
نمودار نیم صفحه ای شامل
محور 2 ۱
۷-0
نمودار نیم مخروط
اد
درد یت رین
صفحه 46:
توابع برداري
a
۳
۶ +
=
53 د
3
5
۳ هه
5>
ب" >
هه د
_>
-_>
2 >
=
- >
<2
هه
=
5 ><
5
- >
32
=
صفحه 47:
تعریف تابع برداری يك متغیره:
n=3un=2, كه در آن moe
را يك تابع برداری يك متفیره. مجموعه ۸۵ را دامنه
و مجموعه را برد این تابع مینامند.
* به ازاي 22و )را میتوانیم به صورت
بنویسیم. که در آن
پعي حقيقي روي ۸ هستند. از
طرف ديكر iy معرف نقطه اي چون
است. بنابراين داريم:
تح
صفحه 48:
ادامه تابع برداري: 16 رم ee
*معادلات فوق را معادلات پارامتر S نكاره
۶و توابع را 8 هاي؛ و متغیر ارا
*به همین ترتیب:
n=3, f:A> R Vi=123 ۶۵ <) 6۵, ۲۵, 4
x= fO,y= £0.22 £6 Tote
7
معادلات پارامتري
=
> 2
a=
=
a>
=
f=
5
a:
د
ها
==
=
ك2
>=
=
هد
هه 5
=
لحار
=
=
"
=
2
>
صفحه 49:
مثال:معادلات پارامتري نگاره ؟ رابنویسیداین
نگاره چه شکلی دارد؟
PR ](, 18 <06 ۶,
معادلات پارامتري 2
تح
صفحه 50:
صفحه 51:
ات
تعریف حد:تابع برداری Uf: Ac R> R
(۶۲۵ ,6۵-۵( فر مم حم يه
LO, LO .9) ,ك1 )< 4/)در نقطه 25> تكداراى
so (يلل ,0 ارط لإجطاكر 2
رول 0) و سنا مد شم نا ل )سنا
*به عبارت ديكر تابع؟ در نقطه ماحد
دارد اكر و تنها اكر هر يكاز مؤلفه هاي
آن در این نقطه حد داشته باشد ۱
=
=
3
=
a>
هه
*
=
5-5
د
>
==
=
ك2
>=
=
هه 2
هه 5
ا
2
=
=
=
l=
2
>
صفحه 52:
منال:حد تابع زیر را t=0.9 بيدا کنید:
1+ ۶ بلصزع)< 17
lim 6ing 2 +) =D =
0
5 یف پیوستگی: تابع #ثر 5۲ 42 در آن 55-7
با 19 و له ۶-۹ بو اس اکر داسته
Aa ar = حصز1
لالس ba
طراروی خ بوسته نامند کر در هر كار تقاط ۸
پیوسته باشد. يعني وقتي که هر يك از ملفه هاي آن
۱۷۱۷۱۸ ۱ ۱۷ ۱(چ«۰"7۰"
صفحه 53:
مثال: آیا تابع زیر در نقطه داده شده پیوسته
sint 1
است؟ 0= ind. t= مرج 1 = = AO
حل: چون مولفه اول پیوسته نیست بنابراین تابع پیوسته
بست. a<b fila BR R
Pb een 3un= 0
dh آنگاه 7 را يك خم در يا
fad =| noyrefagp ١ مينامند نكاره
لوو
صفحه 54:
روش يافتن اثر خم:با نقطه يابي يا بيدا
كردن محل برخورد دو رويه كه از حداف
بارامتر بين هر دو مؤلفه تابع بدست ميايد.
* مثال:قسمتي از خم زيركه در يك هشتم
اول دستگاهمختصات است را بدست
4< ۶ ع4< ۶
آورید:
۱ 1
تح
صفحه 55:
©
9
©
3
=
3
2
6
به
6
01
1.61.20.0.40
=
2
=
>
=
=
=
=
=
=>
=
=
_=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 56:
؟ تمرین:قرصی به شعاع ۵ در صفحه 2807
پارامتري ٩ را پیدا کنید.
*حل:
۵
> 2
7
-
a>
=
5
د 5
5
د
=
==
=
ك2
=
=
هه
ه 5
هه 5
2_
=
a2
"
=
1
>
صفحه 57:
AB, y= oD+DE)
مساقت علي 2 qq=Bq=at
در مثلث قايم الزاويه]©”01) داريم: :
0۳,1۲ < ۲ 2۸ 1
CF=a, cos¢- = =a sint = :
=
=
=
=
=
=
5
2
=
=
=>
=
Fq=asin¢- > =- a.cost
هحير asint y=a- acost
=
2
=
|
=
=
=
>
صفحه 58:
تعریف مشتق:تابع برداري؟ در X=T abi
مشتق پذیر است اگرحد زیر وجود داشته
باشد: [2,8 ]ع دكا ,(2013-<2) ,6ل + رها:۶
1 ۲
lim—(4@- fd)
2 بر
* بديهي است در نقاط 1-], هحنا منظور از
وجود حد فوق. وجود حدهاي يكطرفه است.
در این صورت حد فوق را مشتق؟ در نقطه ]
مینامندوبا نمادهای زیر نشان میدهند: df
Gh 4 7 -
5
=
=
=
=
>
5
=
ae
د
=
==
=
ك2
>=
>
=
=
هه 5
2
0
t=
”
eS
2
-
صفحه 59:
توضیحنبه ازاي ۰۳-2 (۶)۵ ,۶6۵ )- ۴)۵ < ۹
-N=3 lj a )9( ,208 ,404)- 2۵ 2 2
*بنابر این 1 در نقطهاً مشتق پذیر است اگر
وتنها اگر مولفه هاي آن در این نقطه
مشتق پذیر باشند
* مثال:مشتة انع .| Alen. دادم
ee (é? nxt مین م
1 =¢ €4,2- 2
تنا 0
صفحه 60:
٩ 20 :]42- ٩
12 1-5: 0, 1:۱0 ۳,۵,۸ 2۳
£2 (af + 9) ( =a (8 + ۵
1 2)29 ۵ - ۶۵9۵+ ROG
68 + 0)و» 3 )1 - 0) وعم )2 أ
۵ ۵ 2۸۵ 20۵۵ ۱
صفحه 61:
aS Oe Pel wie
۶ < ۸ - 01,۶ - 12۵,90 مثال: رتم ری
5 20 =In@t+ 1),( £9)(O) =?.( £9) =?,(0f)(O) =?
== = (0) =(L- 10), G0) =(0-10),g(0)=0—.
7 208 +1(- قه 208 +1(- 218 - 10(
2-79 7 , ee 52)
BS r=
aa 2629۲۵ => 1
صفحه 62:
-1 2 0
۳ ij
(fxgM== 0 Atl -1 O=
=203)+ (2.220. 2.5)
(pf) =O) A0)+4(0) £(0) = 211 10) =(2- 10)
صفحه 63:
قضیه:(قاعده زنجیره اي) tela
n=20B 2۳ مگ 7 مک [ ,2 ]
of flac
* توابع فوق را با 1 كه بازه اي در 3 است در نظر 2 ٩
(0
- 38 9 t abs of بگیرید. فرض کنید
تابع برداري 0) در نقطه ] مشتق پذیر است وح *
=
دا =
novi - هم 999 _ ده وه _ 008 < ۲
ا ل ea ea ۰ ۱-2
صفحه 64:
منال:مشتق تابع زیر را در نقطه 1 نا بیابید
3< 2۵ (دقصا جم) 1 +2 و +099ع)-
i
= H(d =(- tsin@+1nd,1,44 (2+ Ind’)
AY) =(- sin2,132)
صفحه 65:
تعریف خم هموار: 22078 ۳ F:la Bl
* تابع فوق را روي دامنه اش هموار گوپند اگر
به ازاى هر 127 ولوانةداشته و
بیوسته باشد و 0۸ ۳۹۵
يكي از مولفه هاي آن غیر صفر باشد.
=
> 2
a=
=
a>
=
f=
==
حه 5
د
=
==
=
ك2
>=
=
هد
د 5
هه 5
لحار
=
a2
"
l=
2
>
صفحه 66:
۶۵ )1, 1۳0+ 01+ ۶ (
حل: تابع فوق روي بازه داده شده هموار
نيست زيرا در در نقطه صفر مؤلفه اول ان
oe
تح
صفحه 67:
تعریف خم پاره هموار:
7۱-2023 ۲۳ ۶:۱6
*؟خم فوق را پاره هموار نامند اگر در تعداد
متناهی نقطه از دامنه هموار نباشد.
* به عبارت دیگر خم؟ پاره هموار است اگر نقطه هاي
,]> رر....وطوهاً داشته باشند بطوري که ؟
ere oe on em reels
صدق الک بدر بقیه نقاط [,8] درشرط
صدق |۶2 |
تح
صفحه 68:
منال: خم (#,۶,۶)< ۶ در نقطه ) <ً
هموار نیست. زیرا: 20 ۶0|
تعریف طول خم:فرض کنید:
n= es 7 ۴ مشهاي
USS Silence ان
oO را ۵ 2
| رابطه زیر تعر یف مکنند
= fi ۶)
صفحه 69:
تعمیم تعریف طول خم:اکر در نقاط زیر
پاره هموار باشد [,۵]> ر...., ,1
و > را >...> وا > الق ی 1 را با رابطه زیر
تعریف میکنند:
s= {| Folate (| Pode... [| Flat
لب Deep ان ارد لدان
b= by ole ,2=6
s=3 ۱۱۳۱۹0۹
واااو
صفحه 70:
منال:اگر خم ذیل در بازه داده شده هموار
است طول خم را بيدا كنيد.
[3ب1] ۶ ,( ۶ ,8)< ۶۵
7777
a
a
2 ¢
5
th
.51
1
۳
2
4 -ى کت + 9۶ “a
)13% و - 9
mene
صفحه 71:
wy
kas
00000001510١
صفحه 72:
3
تعریف توابع اسكالر: INS =
نز +به بر 2
BEA
: ACR
صفحه 73:
مد 2
مثال تابع دومتغیره اسکالر: ZAKS =
۶ 2 جر << ی[
FUO=1+ 0+ 2=3
اعمال جبری مانند توابع حقیقی است
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 74:
یف توابع برداری
ا ب
ee ZAIN
t
Ss
3 5
بنابراين تابع A حالت خاص تابع بمر‌داری است
> Ac
2 BE
صفحه 75:
م۵ <
منالی از تابع برداری : KS 2
: ج] 0551232 EA
t= ])0( = (1,0)
0
| fy ya=x+ ¥2
۱۱۱۱۸۰۱۱۰۱۱۱۱۱۷۰ ۹۰/۴/0
صفحه 76:
تعریف: درتابع برداری زیر 3 =
1# ع ار .00,۰:]) :]2
ef:A> R_ i=1,2,3,...,.m
۱۹
توابع اسکالر را توابع مولفه ای وبا مولفه
های تابع برداری امی نامیم .
۹۰
صفحه 77:
EN
ZS منال :
(xy,Z)> &+y+Z,xy+ yy+ yx+ xy
1 :)3 YY X+ 7+ 2
Lh: OGY, Y~ XY Va Za
£: OG YY XV:
=
=
=
=
2.
2!
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 78:
ri
تعریف : در تابع برداری
xX fit... fico) ۸4 ۴۲
۱۰ ۷
با انتخاب متغیرهای وایسته ,11 .11۰۰
معادلات(20) ر Ff ,,(X),..., W=F لا
معادلات تابع ب‌داری pw of ۰
اعمال جیری مانند بردارهاست
۱۱۱۱۱۵۱ ۱ ۷ (۱/۸
صفحه 79:
تعریف : در تابع چند متغیره GW
ر (6100,...۳00) £:X—
xX
~ (&, X_ »-) BAC
303 =e | (00=y,Xe Be BCA 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
= ees 13 تصوير مجموعه 1
= sel BaF loge (yep oda (2
$2|2Z~(% f))=C4...x0 ۶1600, ... 22) (- 2
=
= va
>
صفحه 80:
3
3 نقطه (/16 06/ورا در نظر می گیریم » مجموعه
[6< (۶)2۷ 2۸ 15ح ثرا مجموعه ترازتابع ۶
به ازاء ول نامند .كه اكر تابع ؟ اسكالر دو متغيره باشد
مجموعه های تراز را منحتى هاى توق تابع و اكر
اسکالرسه متغیره باشد مجموعه های ترازرا سطوی‌تراز
=
=
=
-
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 81:
3
:مثال 1 teR (ا] با +621 ما:
0 دم 12 , 0 ] تصویر
20 با 1 2 |( |
1 0 =| Di سس 2+ € [0
صر امم
A
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 82:
0221214-35 :2|)35 ۲2-04, ۶0(, 2 ٩
با +02 1,2 )| 2( ب)|< 0 2 3
4 1 --2 با +728 ۳-1 |( باس
که معادلات پارامتری خطی است که از نقطه (0ولو0)
می گذرد و با بردار )1-,1,2(~ 1 موازی است .
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 83:
a
: مثال2
تابع برداری سه متغیره زیر و نقطه +[ ۱ در
نظر مى كيريم » مجموعه تراز تابع 1 به ازاء نقطه (2و1)
را بدست أوريد .
رك وا يد Ax Ye
=
=
=
2
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 84:
(2بل- ۲/2 ۶۳5۶ | 1/2 ب)ا<
}24-02 § امس
|. wf ws
=| valde §- Z=1,2=2)
- + ۳-1 1 بیضی واقع در
2 < صفحه
1
7
8°18
2
صفحه 85:
a
تعریف همسایگی :
act} | 7۴ >« ]وه
شعاع : ۲ مرکز : 2
) اكر #6 96 باشد همسايكى را قرص به مركز ه كويند .
2
HOOODODDCO DODD OOODOODO
2 اكر 4646 باشد همسايكى را يك كوى كويند .
3)همسايكى در و تعبير هندسى ندارد .
صفحه 86:
a
: تعریف فاصله
فاصله نقطه a 3) K عبارت است از :
۱«( _(چةظ 110100000000
صفحه 87:
a
مثال :
=M
(0.9={ox,pe H |G OF + OF <2
=| (x pe R ۳9 + <4l
HOODOO OOOO)
صفحه 88:
3
مثال :
نشان می دهیم که درهرهمسایگی میتوان
: یک همسایگی کوچکتر محاط کرد . یعنی
Mxd)s Mx,d 55>0: ركد عع
XE N&,r) = | > فرض :حل
۲ > 2 - -1< 6( فرض
حال برای اثبات «دلخواه را در نظر می گیریم:
6 -۷ جد (رت(۷
۱۱۱۱۸۱۱۰۱۱۱۱۱۱ ۹۰/۸/۰ ۱
صفحه 89:
3
براساس نامساويمثلث
Y- Xo |= (y- X)+(X- Xo) |<
| Y~ X |+| X- Xo |<d+| X- Xo |=
=> yeNx%n
=> Nx,d)S No,n)
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 90:
a
: تعریف مجموعه باز
فرض کنیم "0 72 آنگاه لارا یک مجموعه باز
در "3 می نامیم هرگاه :
VxeU : sr>0: Nxn CU
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 91:
a
مثال :
0 <1*1 6:16 |< ۸ یک زیرمجموعه باز از
2است: زیرا
Va&yeA ar>0: N&yNCA ?
2» &yeA> X>02> r=x
د 130,103 (85,) براى اثبات داريم < 0
=
=
=
=
=
=
>=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
م
هه
=
=
>
صفحه 92:
3
X= (Ki- X >
تال ۳ +) ۳ > 3-1
۱۰۰۰۳ ۰, («۱
0
- X<Xi- X<X
1
الل ل ل ل ل لل انا
.وحكم ثابت است 206 >1 >0 >=
صفحه 93:
5
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 94:
Ie
8۶ V=|Gy) ١ الك <0
است .زيرا
0>ر0حد | «روا< ۷۴
ةا ووو ووو ووو
صفحه 95:
: تعریف مجموعه کراندار
2
راما كويند اكر زیرمجلاعه ای از یک
: قرص باشد . بعبارت دیگر
210 5: ۷]<0 3 کر:ه کراندار استد
ees
8۳ > را کراندار گویند اگر آگزیرمجموعه ای از یک 2
گوی باشد . بعبارت دیگر :
1:00 5: 0 <]1۷ 3 گر:٩ کراندار است
۱۲۱۱۷۲۳۷۰ ۷/۱/۱۱
صفحه 96:
5
. در غيرا ينصورت 5 را بى كران كويند
یعنی خارج هر قرص به مركز مبدأ نقطه اى
.از 9 واقع است
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 97:
5
Jo:
oe {ap | Ge 1P+(% P<
است
زیرا مجموعه همه نقاط داخل دايره به شعاع 5ل
و مرکز(1و1) است . بنابراین کافی است قرصی
i oe a مد دای راز برگرد poe
. کافی اسب ۰ +۵ <]1۷ باشد
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 98:
5
: تعريف مجموعه همبند
را همبند گویند هر
هر دونقطه ۷, از آن را توسط یک خط
شكسة
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
واقع در آن بهم وصل کرد .
صفحه 99:
5
: تعريف همسايكى محذوف يا بدون مركز
ع2 2
۷ 2
-| عير 780 | 0> 2 ast ۱
صفحه 100:
3
Ij. cool LR? مثال : (10001,0,1(,2در
,د فرض 21,0112
= 3 6>0:NX,d) ¢ NGOD2)
=2-(LOD- X) 6 اكر: فرض
“د مرج ید اج
= 0<d6 > 2
۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۱ 0
صفحه 101:
a
TTT NY
71
برای اثبات در نظر می گیریم : ۱۷,۵1 26
بنابر نا مساوی مثلث
X- GOD =X- X,+X,- 0,010
<X- x, 1 x, 0,01( > 5 x,- aon =
> XENGOD2)
= NX, DISNGODIQ> cu! 5b
صفحه 102:
5
تعر يف حل : در نظر مى كيريم
۲ در ۷ ۸4 , 0 9 , 9 جه ور تابع
فرض کنید ۸ شامل یک همسایگی محذوف نقطه را
LeR™ a
Ve > 0.96 20 : xg NY ok fQe Nile) «
limf@=L core ols
xX X, نویسیم :
۱۱۱۱۱۱۱۰۸۱۱۱۱۱۱۱ ۸ ۸
صفحه 103:
=
bg:
ع9 < 0 368 < 0:
0> >06 ]00- L<e |
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 104:
اد
5
مثال :
نشان مى دهيم > Fy) x: Gye REG
. در نقطه مر تاه xX, برابر رست
الو - + رید سم اد مت ند وس
ع< ۵ جع > 102رد و 2
۱۱۱ (۱
2X- X|<d= FOO- X/<e
صفحه 105:
,۱10۳6 جد
&y) &,y,)
و بطور کلی همان فرمول حد برای تابع 2
متغبره است .
linFOO=FK, 577
2+
صفحه 106:
Zs
مثال:
نشان می دهیم که تابع زیردرنقطه() 40 م6 حد
. ندارد
2
000 ی موی
2
x + >
: فرض خلف
ةل ووو وو ؤؤؤوؤووووو
صفحه 107:
3
بنابراین برایم 6 عبايد عددى مانند [<۵ وجود
: داشته باشد بطوریکه
0<|X- X/<d => FOO- L<e,
0> > ۵ < ۷ L<e,
تل فقوف ةوووووةوؤفوووووة
صفحه 108:
-دسو | ا در نظر می گیریم چون a
اوه سل
L<e, @) ارم
0
حال اگر [50h را در نظر بگیریم چون
0 =1, ۳
we (Lise, @)
00000000000099
صفحه 109:
1-1 + ط > .1 -1+1 -1 د
222 و5 ,ع >
: حال اكر é,
1>1 كه تناقض است بنابراين تابع حد ندارد
2-2
صفحه 110:
3
. حد در صورت وجود منحصر به فرد است
كليه فرمولهاى حد توابع حقيقى در مورد توابع
جند
. متغيره نيز صادق است
بنابراين اكر هر مولفه حد داشته باشد تابع حد دارد
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 111:
Bai
رن 0۱۱۱۱۱0۱۱۱۱۱۱۱۱۱
ir
بي رمه رو
ee
nara
درلا
صفحه 112:
پیوستگی مثل توابع حقیقی ء اگر حد با مقدارتابع
برابم‌باشد پیوسته است و بطور کلی وقتی همه مولفه
. هاپیوسته باشند تابع پیوسته است
۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۱ ۸۱۷/۱۷( ۱/7/20۸۱ 0
صفحه 113:
دي ae ag پيوستگي
eat 2 a
oe يس
1) (وز رود - ۸ + ور يقد + د bor a a
=D f(%, %)Ax+ D, رود KAV+ €,AX+ Ay
Fe, =eA0 , Fe, =¢,An ریکه:
WY
=i
صفحه 114:
ارح سه قل للقن اقم
(AxAyY— (0,0)= ¢,- Oe, 0
ر اینصورت آدر )1 pile,
WY
=i
صفحه 115:
: هر گاه تابع دو متغیره آدر نقطه ای
قضیه: اگر مشتقات جزئی تابع دو
متغیره بر قرص باز
موجود و در نقطه ییوسته باشد
آنگاه ۶ در آن نقطه مشتقیذیر است.
لاد
9(
صفحه 116:
xy :مثال
2 9 فر , D,=-2xy
IAA %, 46) = AH +A الك + وز - 1%, Yo)
2-3۸ WAx- 2x yAy- 2ZyAxAy-
= x(Ay?- AMAy)?
‘i استفاده أ تعریف محاسبه
atte, لوز BLS, JAX DM, ne
=é,AX+ €,,V 1 1
1
صفحه 117:
:طرف جب 1 سن ار خائصه كردن
2yAmMy- AxMAy)” - “(رحاير -=
كه بايد به يكي از چهار طریق زیر
:معادل طرف راست 1 باشد. . يعنى
۱۱۱۱۷۷۸
2[- 2y%Ay- (AY? Ax+ (- فهر
= = (- 2KAWAx+(- AxAy- XAYAY
= (- (AY) x+ (- yAx- KAYAY
= OAx+[- 2j,Ax- AxAy- HAVAY
صفحه 118:
ee
چون توابع وجود دارند كافي
است در يك مورد نشان داده شود كه
ج رع,0 -,¢ =)0,0( فرك جتد) 0
£,=-2yAy- (AW? ,
lim «=9 . lim #=
(Ax,Ay)= (0,0) (Ax Ay) (0,0)
۰
۰
—
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 119:
نتيحه تابع مشتقپذیر بوده
و در( ققطوة)
لل ؤؤؤوؤوووه
صفحه 120:
منال:در مورد پيوستگي تابع زیر
:تحقیق كنيد ل ۸۰۸
= omy >
2xy
ره aire SEs
5 (¥+yV)
ع ام
JIN + FP (nt +1)?
.بنابر این حد ندارد و در تتبجه پیوسته نیست
۱
صفحه 121:
اد
مزه + 1 ی + رم + قر + #طاوم - (2 بز 13
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 122:
۱۱۱۱۵۵ ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۱۸۸۸۸ Ww
or teas te تعریف :
ab stun ss (SRE BAS B كر تابعاسکالر
RICA بل ريف شده باشد در اپنصورت رابطه زیر را در
صورت وجود مشتق جزئی ۳ درنقطهک1 نسبت به متغیر ذام نامند وبا
چم ار لازم
FL, x) دی ده دی
صفحه 123:
Fixy 2+ مثال :
= FH ae
0 one ۳+ د
0ب
مشتقات جزئى مراتب بالا تر 2 برد انق
Bie 0000 iy) لد
صفحه 124:
Se
Fixyer xy Of Xap مال تيرج :
ترد د مر یو جر of
7 تب 02 62
oxy +65 1 يورق
م وقتى برقرار است كه بيوسته باشد .
اكر مشتقات جزئى موجود وبيوسته باشند تا هر مرتبه اى كويند تابع از
رده 6 (2همان مرتبه )است.
ی اك
صفحه 125:
fF: (+ [e+ مود
(4 peR
of,
ax P=OQx+ yxy
ةن 00000000000
زرد + دید اه ید و
صفحه 126:
si oe _- هر
Of _ucodu(l+ 7? + u?)- 2asiniu
OA (1+ 77 + wu)?
= cos” x(
شادة 53 5
2 94
1 2
ر5+ع)
اد
9[
صفحه 127:
of _ 2009+ 2 + 2 (- لطت
Ou )1+ 22 + 7)?
0 a 77 ۰ 37
2۶ _ ۳052 و 2—sin—
3 3
oA a
پر ۶
-
۱((ظ(7"(۰(("( (آ :۰ /۱۱۱۱۰۰۰۱۹۰:۱۹:/۰:2۱:/۰
صفحه 128:
اد
کر تابع كداراي مشتفقات oF
پوسته باشدو-6< ۷
Ou Se. bof 206۱۷۱۲۷ - 157
حل 0 2 Ox Oy
ow_of _( of du of 0۷ _ 26 ۶
Ox 6x |6u 6x’ dv ox) ۷
HOODOO DODD OOD OODOD
صفحه 129:
0۲۷ 01۷ _ رل of
‘Ox’ oy an 2 رم
ee
صفحه 130:
تمرین:مشتق جزتي تابع داده شده را در
نقطه داده شده بدا کید
و ,07 09 کح
۰
۰
—
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 131:
a “cosy- xy sin”
ove
oy
2
—
=
=
=
=
=
=
26
ع
0 D= =2cosr”? - a? جوزو
صفحه 132:
اج
: تعریف مشتق جهت دار
با فرض: /ابردارواحد م كم XE دم
( 7۶۷+ 1
و۶ 21 ۳ - رر * 19
0 جو]
a
"۳۳
6س
در صورت وجود مشتق جهت دار ؟ در نقطه ,لا
ko
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
در جهت ۷ است .
صفحه 133:
: مثال 5+ 3 - 27 مر بی):
در نقطه x =G,2)
vit
وخر جفت بردار واحد 272 =
| +2210-0,20 + ركد : داريم
]1+ كك Ay 4
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 134:
4 -2 مد لا( بدا Ax + hy-
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 135:
=
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 136:
اج
: تعريف مماس و قائم
صفحه 77 در نقطه ابر رويه 5 مماس است
A برمنحنی های واقع بر ٩ ومار برط
مماس باشد. بعبارت گر صفحه در نقطه
8 بر روبه ٩ مماس است اگر شامل pled
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 137:
خطی که از ۴ گذشته و بر صفحه مماس بر 5 P 5s
عمودباشد, حط عمود بر ٩ درنقطه آنامیده می شود .
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 138:
اج
فرمول امتداد قائّم بر صفحه مماس بر رویه 76 FE
رفظ
N= £% Jor 1510+ 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 139:
معادله صفحه مماس بر رویه ٩ در نقطه : ۳
+ لا 30, 2 %)F LOG, WXK Jo)
+z 4)=0
DOODOOODOOD DODD OOD OOOOD
صفحه 140:
-1
3
a
2
3
59
0
2
a
3
n
a
2
2 2 16 ع د ور و
LG 30 £&, 30
1 0010010 enndorereee
صفحه 141:
: مثال 200 ومع :
- 1 = 0
is کر
RIN
هك لففولةؤوؤوؤوؤووووؤةوؤؤوؤووؤووووو
D+ Op- (2=0 ار - معادله صفحه مماس
1-2
ee معادله خط قائم
صفحه 142:
: شرط وجود صفحه مماس
اگر تابع ای و مستطیل باز زیر پیوسته باشد
أل > ول عر , ط > هد RAG VIX 2
>
2190 دطقتردو أن روى 11 وجود داشته ce cle,
>
پیوسته باشد»(شرایط قضیه نمو)آنگاه تابع خطی 1 که نمودار اج
>= 3
صفحه مماس بررویه 2 درنقطه 16 برج
> . دارد . که نمودار آن صفحه مماس رویه است
K IO, اک لک م3 حق |30 م3 1 +30 3 أ از دب
=
صفحه 143:
: قاعده زنجیره ای
yay ندز بو
اگر ع دارای مشتقات جزئی روی همسایگی از نقطه (ولارمت2) بوده و
در اين
ار اد ول در )راتکه با
فرض 4
الول ووو ووو ؤؤؤوووووو
صفحه 144:
oe
ae
= dg
xt WEI xh)+ oot Ey t,)
=G% NX G+ FH MIG
=gX+ Gy
DHOODOODOON DODD DODO VDO0)
صفحه 145:
WY
2 0
1732 X=sim, y=cosi, Ze’,
aS
Eee ee و
dT-0T ax,0T 09407 0z,0T at
da oxou byou geeu ob ou
=1cosr Asina ler ما LA
=~ ¥_ COSU—r obi
XV Isinu
صفحه 146:
۳
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 147:
: فرمول تقریب
بشرط ۵و ۵ بحد کافی کوچک
1 و2۸5 ۸ Jr
LX, N+ LX WAM L%, KAS
a”
صفحه 148:
3
مثال : معادله صفحه مماس بر 23۳4 72 +[كترا در
ات
2-3 0227 2 3
Swed a Rea
2 4-84 x و 3
درو وحم
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 149:
اج
اا ووو ؤؤوؤوووهة
تعريف كراديان :
فرض كندم تابع اسكالر 8 متغيره 5 روى مجموعة
8 ۸
دارای تمام مشتقات جزئی مرتبه اول
ee a 201 2< ۱۷۶
Of (yw Of ۵ ای
xv ox an ex
, XEA
صفحه 150:
اج
:مثال
f:0% 2 2X y+ Y:
۲۷۶-۷ رو + 2
Vf0,12=44)
VOOODOOD OOO DODD OODONDON
صفحه 151:
قاعده زنجيره ای : برداری و لسکالر]
g:-B R, f:A> 6b
Ac ۳ ,Bc R”
۴ روی قلمروشان دارای مشتقات جزئی پیوسته
اند .
در اينصورت داريم :
0
۳ Vd tas, (x
i
Be PRS
صفحه 152:
2 Apo Ge لودرق See:
2 مچرییو +
2 Vx, P=Ox2y)
٠/0 113: [(( -)2) + 22,2 د
02 ورب 21
۱۱۱۱۱۱ ۷ ۱ ۱
2901
2 +10 جر ور وی >
صفحه 153:
اج
: حل مثال فوق از روش معمولی
GOLX, P= GLY, ((-< +
=(x+ y+ xy
aoe Ax, p=Ax+ + 2
که فان اس
VODODOOD LOND ODD OODONDON
صفحه 154:
ye
7
: قضيه
: رابطه بين مشتق جهت دار و كراديان
2۲۱۷۸5 مق
صفحه 155:
ae
ری ۸۸۸ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۸۱۱۱۱۱
: مثال
مشتق جهت دارتابع ار خرکتصم
yi236 :
:و در جهت بردار [77:7 [- * بدست اورید
F:0% 2 2X ۲+ ل[
۱۷۶-۰ 12106 1
1
D f= ور 21216 2-14
صفحه 156:
تمرين:مشتق سوئي تابع داده شده را در
A=2i- , اسر ر تمرح رگ
Vf =(tan' 2 + x. :
اه
]+1 اج
x x
a ee
VAD Cs es)
اد
۹(
صفحه 157:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 158:
تمرين:مشتق سوثي تابع داده شده 3
در نقطه وسوی تعیین شده پیدا
:كنيد
4 +۷3 , 6,0 ب جج ود عاك
<
(ره «ن2) نا ۰ ۲۷۶۵-00
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 159:
بر رویه داده شده را در نقطه داده شده
بدا کید
p=(0-23) , 72-8 - تور جنر
22 - قز رج V=(Qxz y,-2x~ 2
Vip =(-4- 912 2
A y+ 2)+1A4z- 3) =0 -)0 4 -
23 ار x
12 4-
۱۱۱۰۵۰۱/۰۰
صفحه 160:
a
یادآوری بسط تیلور توابع یک متغیره .
اگر مشتقات مراتب مختلف تابع یک متغیره حقیقی ۲
در همسایگی ( 2+9 , 8-11 ) موجود باشند
xela- hat
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 161:
aK
7۵ - (+ ae fis
(x- a"! م
“GD 4
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
Aw & و وجود دارد که
باقیمانده مرتبه «ام در نقطه ۵: © 1 Ce a?
11
: : خواهیم داشت
در فرمول فوق اگر باقیمانده نوشته نشود آن را چند جمله ای تبلور گویند
A
f
0000000000
صفحه 162:
: قضيه
فرض كنيم #درهمسايكى (a,b) abi IN
دارای مشتقات جزئی مرتبه سوم پیوسته باشد .
دراینصورت : د- ۴ ۸ :۶
خط واصل NA, ES | ab ۷
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 163:
12 - + ی atans
(y Diane هدع وليه رز موز
بسط تيلورمرتبه اول تابع حول نقطه (2:8اباقيمانده للست
=
=
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 164:
aK
2X y=
fal عر دوه bela
2
+ ما a? Sans Ax Xy- D 2
Ox
2
27
رم
2
0
(y BP 51+ B(x yaben)
oy
.که بسط تیلور مرتبه دوم تابع 1 حول نقظه (3,5)با باقيمانده1]است
اللو ووو ووو و ؤؤؤووؤووؤووو
صفحه 165:
: مثال
بسط تیلور مرتبه دوم تابع ار 2 2 با در
نقطه (ظ,0,0(<)6) محاسبه کنید .
614 61
کوج 7-0 Oy x 2y-0
- 22 02۴ 921
لس سم
+2 عر +1 +2 جه + لد یدز
=
>=
>
=
=
=
=
>
=
>
=
=>
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
صفحه 166:
تمرین: بسط تیلور مرتبه دوم تابع زیر را
در نقطه داده شده پیدا کنید
7جعر3 - 3 عور - 22 قر جد )1
(aD =(2,5) بل
of
of
BAX V3 = (25) —0
Ox 7 2 Sy )
of of
— =: X 67+ /7> — (25) --2
OV oe ay 2
۱
صفحه 167:
اد
af 2
St |
ox’ oy
1
۶),5( -- 6
f(x VY) -- 76+ 0) 2(- 25 +رو
+ رهز 2)2- Ax (y= 5)- y= 5)?
OOOO OOD ODDO DD OODOOOOD
صفحه 168:
زیر را در نقطه داده شده پیدا کنید
صفحه 169:
اد
مدي 2 ددسوم - كه
oy
cs
2
Oe ee
OMY
a]
۲
6
72,
Lx,
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
af 2(x- 2)? +
2) 2(x- 2)(y+1)+ 4( +1)?
صفحه 170:
: تعر یف مینیمم و ماکسیمم SK
fA+B : Ac Re =
FAN Te at ا HEAL
= 4 NX> > 1 : بطوریکه
در این صورت (م626؟ یک مینیمم نسبی ۶ است .
sees 2۸4 <
EN SAS ARS 2
oe a
صفحه 171:
3
3 226 رايكى نقطه ماكزيمم مطلق ؟ نامند هرعلم ۷
1
در اينصورت ) ,5036 را ماكزيمم مطلق ؟ تامند .
و4عد را یک نقطه مينيمم مطلق 6 نامند VASA sm
لهك
در اينصورت ( F(X, را مینیمم مطلق ۶ نامند .
ووو ووو
صفحه 172:
: مثال
:تال سور 22۳ و26 ألا در نظر مى كيريم
ی
)0,0( نقطه ماکزیمم مطلق است . Vix ye R=
(0,0)] ماکزیمم مطلق و نسبی است .
DOODOOODOOD DODD OOD OOOOD
صفحه 173:
: مثال
wes she IAS BV es:
Wane (faye
Gok Ie a وی دار نانع
روی خط فوق مینیمم مطلق ۶ است .
««(ث(آصطظ(آ" (ص" ووو
صفحه 174:
ع
1
x
لول ووو ون ؤؤؤوووووو
, جع
a
نقطه
VE x= SE Boh 5 ع لمق
ود رود Swim
صفحه 175:
a
: تعریف نقطه بحرانی
0 را یک نقطه بحرانی ۶ گویند اگر در یکی از
دو شرط زیر صدق کند :
.الف) ؟ در نقطه ,كا مشتق پذیر نباشد « لاقل یکی از
sem Ci
عم =o
ب) ]در رلا مشتقيذير و
سود
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 176:
در نتیجه نقاط ماکزیمم و مینیمم یکی از نقاط بحرانی
است یعنی جواب دستگاه زیر یک نقطه بحرانی يا
. ماکزیمم و مینیمم است ag
ود
در صورتیکه نقاط بحرانی » ماکزیمم يا مینیمم نباشد آترا
.نقطه زین اسبی گویند
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 177:
: مثال
نقاط بحرانی تابع زیر کدامند ؟
جرد خر <د بو بقرر ید1
3-0 عر جوم Of
= y= 1,x=2
of _
جرهم وو
نقاط بحرانی : (1- و2)
DOODOOODOOD DODD OOD OOOOD
صفحه 178:
Se
قضیه : (آزمون مشتق دوم )
ACRE , جر مهم
مقروتی Gils N&
فرض می کنیم ۶ روی (و۶) لالز رده Sy X, 3C? نقطه
ترا ۱ اند در ای ررت :
یور چم
ْ 8 6 سر : دک
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 179:
: آنگاه
الف : اگر 1(>0 X, aba نقطه زین اسبی است .
ب: اگر abs A>O, DEO ره مینیمم نسبی است .
ose x ab A<0 | D019. ات
د:اكر D=O تمی توان eee
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
: عم
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 180:
: مثال
. نوع نقاط بحرانى تابع زير را تعيين كنيد
3+1 -قل +قا- رو ,4/3
مسرد -عره Of
Ox ~ xO j-0
ادر حاحر of.
a 3-0
2 2
16 قم 1-3 قور مهگنقم
0 28۳ oy. 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 181:
0-0 3 حم (حم4:وم
زين اسبى >=9<0 0 و
B-3 C6 0حمهلنا
بن >9>0 D=AG B-=36
نسبی
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 182:
۱۱۱۱۱۱0۱0۱۱۱۱۱0۱
: محاسبه ماکزیمم ومینیمم تحت شرایط خاص
برای پیدا کردن نقطه ماکزیمم و مینیمم تابع 1 نسبت به
G(X y,Z)=0 bs باید دستگاه
0۴-07 0-0
ax ax ay ay
64-8
ی ىم
را نسبت به * و لا و2 و لمحل نمود وجواب QLY,Z) abi
اس
صفحه 183:
اج
بعال
ماکزیمم و مینیمم فاصله مبدا را تا منحنی زير پیدا کنید
9-40 ۶و6 بر
فرمول فاصله : 2 +6 گر (زیرا تقاط واقع بر اين دايره
بیشترین فاصله را دارند )
106 زسر<
عبسو م تر قر إيه د 10جی6تصر2
5x24 Oxy 5y?- 8-0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 184:
5
aed PAP, [3 2 =P FA)
2-2 = |v2- 2 2۳2 رد
اا ووو ؤؤوؤوووهة
صفحه 185:
تمرین: نشان دهید که ماکزیمم تابع *
(X,Y Z)=X+V+Z )69 کره
ata tote |
2< 2 + مر + ۲
۱ ۱ ۱ ۲
ig:v+ 742 - 2 ل
صفحه 186:
WY
7۰۷۶ , Vo=(2x2y22
1-22
عرمه-1
12217
¥+V+2=a
vie aye
ye oe Bo. بل
“B
—
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 187:
صفحه 188:
انكر ال دوبل
=
=
= z
=
=
=
=
>
=
=
= 1
=
=
el :
= 3
=
2
۳
=
=
=
=
=
صفحه 189:
صفحه 190:
اج
برای محاسبه ناحیه را به مستطیل های کوچک تقسیم
میکنیم ومشابه عملیات انتگرال معمولی مجموع
مساحات و حد آنها را حساب می نمائیم که به این
ترتیب اگر ناحیه ؟ به مستطیلی فرض شود که توسط
bobs ۷2و ۷2 و 2 و 222 محدود
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
شده خواهيم داشت :
صفحه 191:
و ا ۱
+
١ مه
0
a Ax
pia ydAgy fx ydxd ظ
اول محاسیه, محاسيه
مرو coo رورا cet
بعد بعد
صفحه 192:
RIS ae > | مستطیل نبوده و ناحیه ای باشد که با منحنی "6 محدود
شده باشد . : =
فرض كنيد كه ,13 و ,28 به ترتیب مینیمم و ماکزیمم منحنی را تشکیل داده
aU EAU be تس
eo
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 193:
is
ee. BAB wl |, AE
BAB oss بگیرید . در اینصورت به جای
a و لگ sles Ay »و
4 مقادیر ,8 و ,28 قرار مى كيرند . در نتيجه خواهيم
qo
۱۱۱۱۱۱0۱0۱۱۱۱۱0۱
صفحه 194:
اج
رید ید
:و بهمین ترتیب می توان نوشت
ردقم
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 195:
: مثال
AOR | ناحيه محدود شده +1 كه ريع
بیضی ای به معادله او ات سس
=
=
=
=
=
=
=
>
=
4
4
4
4
یر سوم
۳۳
صفحه 196:
ZS
ری ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۱۸۱۸۸۸۸۸
=4 | KB vd)
=- ib HL
-ab :
که با توجه به مطالب رباضی1 همان مختص cet
۲ مرکز ثقل ربع بیضی است و بهمین
و
که مختص < مركز
صفحه 197:
٩۰۵ ۰۵۰۵("(00۵4
صفحه 198:
: ممان اینرسی -1
ممان اینرسی یک ذره حول یک محور مساویست با
. حاصلضرب جرم ol در مربع فاصله آن از محور
برای محاسبه ممان اینرسی یک ناحیه مسطح حول
.مجوری عمود بر آن از انتگرال دوبل استفاده می کنیم
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 199:
ae
ا ۱
: مثال
ممان اینرسی سطحی را که در ربع اول دستگاه مختصات قرار گرفته و
توسط منحنى :71-3 8/2 محدود شده حول محوری عمود بر سطح 6
در (1,0)را پیدا می نمائیم .
فاصله هر نقطه دلخواه p(x,y) از نقطه )1.0( داد است نا
صفحه 200:
صقر 3۳ ع |
=f Pee yw برل
= dys iy pa =a
a
صفحه 201:
١
: محاسبه حجم -2
اكر (2-1)3,1 معادله يى سطح (روية) باشد كه توسط منحنى
6 بوجود آمده آنگاه حجم حادث از آن رویه و دو ناحیه محدود
شده بوسیله دو مقطع آن رویه توسط منحنی 6 بوسیله انتگرال
دوبل محاسبه می شود .
Va, fx yds
۱۱۱۱۱۱۷۱۱۷۱۱۱۱۱۱ ۷۱۷ ۸/۷/۱۱
صفحه 202:
تذکر : (هرگاه 26,۷(<1)] باشد انتگرال دوبل مساحت
ناحيه 15 را بدست مى دهد)
10 ع
۱۱۱۱۱۱۷۱۱۷۱۱۱۱۱۱ ۷۱۷ ۸/۷/۱۱
صفحه 203:
: مثال
se : 2 بل XxX,
حجم یک چهار وجهی BP BPC che bag! oS و سطوح
: مختصات محدود شده را بيدا كندد
a
=
=
=
=
=
=
۰
4
4
a
4
4
4
a
a
a
4
4
4
4
4
=
=
در صفحه ۷ منحنی alec است لذا خواهیم داشت :
صفحه 204:
اد
تمرین: اگر «مثلثي به رئوس (0و0)و
(7,7(,)۲,۵) باشد انتگرال زیر را روي
(!| محانية كنيد
7۲,2 (
««(ث(آ‌ظ(آ"( (ص" ووو ووو
صفحه 205:
اد
زره رز دهد ]
cen
I= (| xsin&+ pK dx= J xsin2xd)
oa
u=x=> du=dax
dv=sindxde v=- 5002
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 206:
1 1 a
i=. 2 2005216+ i 00322
1 1
ز 12232و ح +00۵ — -=
0 4 2
««(ط(آ‌ظ(آ"(ص" ووو
صفحه 207:
به کمك انتگرال دوگانه محاسبه
تیلب 0 0
۵ | له پفر] هه ] از
0 0 0
Ae
Sg?
۰
۰
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 208:
تمرین: اگر 1 ذوزنقه اي به رقوس
A=(1,0),B=(1,9 -0(0,0)
2),c=(0,1)
باشد انتگرال زیر را روي (1 محاسبه
ل الةؤةةةؤؤؤوؤوو وو ؤ و ؤؤووووو
24 1+ 2 100
صفحه 209:
is
۰
٠
—
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 210:
اد
mip (1+ Xsinvdyde
+1
(1+ 005۳| -
ل
(050ه ف +1) + x) +1وهه و +1) -)
(- 0051+ x)- xcos{+ x)+1+ Xd.
i
1
۱
صفحه 211:
536 u=x> du=dx
= dv=cost+ Ydx= v=sinl+ xX
- sinl+ x)- (xsinl+»))'
I= d x
- fsint+ x) a Xt جح
0
ee توه cote +54
+sinl+0+cod- 0- 0
0000000000099٠
صفحه 212:
پر ال اك
به كمك 000 دوكانه محاسبه
كيد
ae
A= iP ره |] 4
=| oe =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 213:
اد
تمرین: انتگرال داده شده را روی
ناحیه لآ محاسبه کنید:
لك از + ومد دص مه" ] I=
۱۱۱۱۱۷ ۷۰/۷/۱
0
۳
۷
S
e
لا
*
=
A
aS
y<0> -x y<l 0 رد
و کر 3x>0,y<0> x
2x<0, y>0= - x+ ysl
صفحه 214:
Ly ley
0 SJ e°’dxdy | «۵
- | بره اه رل جر 1ه
af )2 7 a) dy
+f (ety: er )dy=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 215:
a (ee dy f (e"- ed
ex 52") + Ge" حر" رای
ay eo owl gan a
22 2 2 :
1
۲
۱0 ۱ ۱ ۰
صفحه 216:
WZ;
26 تمرين: مساحت ناحيه تمرين قبل را
به كمك انتكرال دوكانه محاسبه
کنید :
Ly yr ١
4- | ] مه | | 2
۶1 - yl :
DOOOOOOD ا
صفحه 217:
تمرین: انتگرال داده شده را روي
ناحیه 9 محصور بين دو هذلولي
y=x, y=4x واقع در ربع اول
if
۰
۰
—
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 218:
1=y
تم م
a8
مد
تيرد
۵ تب م
11111 2/۱/۹۰۵۹
صفحه 219:
is
ce x’y*dxdy x’y*dxdy-
۱
7 ,
+ 1 J x’y*dxdy= f ay wave
سح ۳
۰
۰
—
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 220:
اد
سا 192 و 2
ِا" ۱
3 را 4867
oe ee
صفحه 221:
IN
بسح
5
+—Ln
۰ 7 vee - 7.
|. 4&6 ee
47 3,
—Ln2 Be ae 87 ای
* 4&6 it a
2+
2 Sin + ae
a,
3 3
8
اليا مه
“NI الما
n+
صفحه 222:
۷-۵۲۸۰ ۶ ddxdy 771
ary
عرازم = 2 dy
a8 Bip
ee
صفحه 223:
نکته کاربردی [: S| ناحيه انتگرال
گيري کلنسبت به محور ها
متقارن و *روي 5 فرد باشد. چون
£(-x,y)=-f(x,y) آنگاه:
مره رر بدا |
R
۰
۰
—
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 224:
: )1-2-14(: مثال
2 fx y) =2xy J
2 R: y=2- xX دعر
[ 20
ناحیه کبین دو منحني محصور
۱۱۱۵۱/۸۱۷ ۱۷ ۱۱/۱ (۰/۷ (۰/۷۳۰/۰۰۱
صفحه 225:
تکته کاربردي2: اگر تاحیه انتگرال
گيري اس 2 مجور lay
متثارن و 1 روي < زوج باشد. چون
12.1 Ff >< نسار X,Y)
f Fx ddxdy=
=2 ff 1۲2» (0
rightsidéR
۱۱۱۱۸۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۱ ۷/۷0/۱0
صفحه 226:
مثال:1-2-36)
مساحت دايره به شعاع 1 روي ناحيه
ae :D ات از تابع
f(xy=1 روي ناحیه و با توجه
es (es ee
(aa كاب
2 [ . f ldxdy=? a
0
ا لفو و ةو ووو ووو ؤؤؤووؤووووو
صفحه 227:
اد
(ee
5-2, | ]هه yee =
=2f VP= ¥ax
xX=rsind > dx=rcovd, j=r
%
s=2 f P cos edb =
ay
7
ae i (1+ co) do تررح
OOOO OODOOD DODD OOD OOOOD
صفحه 228:
نكته كاربردى 3: S| ناحيه انتگرال
گيري ook به محور le x
متثارن و 1روي ۷ فرد باشد. چون
£(x,-y)=-f(x,y) آنگاه:
مره رر بدا |
R
۰
۰
—
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 229:
نكته کاربردی4: اکر ناحيه انتگرال
گيري اس 2 مجور la x
متقارن و 1 روي لا زوج باشدء جون
(X,Y) تست 6 ۱2.1
[> (۵۲۵
-2 [ ] 212 (۵
upsideofR
۰
۰
—
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 230:
انتگرال تریپل (سه گانه )
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
۳
=
=
=
=
=
صفحه 231:
انتگرال سه گانه
مشابه انتگرال یک گانه و دو گانه تقسیمات جزئی
حجمی را در نظر می گیریم و حجم ناحیه را محاسبه
می کنیم (برای توابع سه متغیره )
20 16 بز
هریس ز بر <
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 232:
اج
که با جایگذاری مناسب مشاه انتگرال دوکانه
: می توان بشکل زير فرمول را تبدیل کرد
jf. Loy Yad
۶ ما BSS fy y2dxdy
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 233:
مال
ممان اینرسی ,1 جسم جامدی را که با استوانه
2 2 2
Ey 74 1 و سطوح 2210 و 2720 محصور شده
حول محور ۶ (مطابق شکا, ) تعسب؛ م . كنلم ( دا فدض,
چگالی ثابت ٩ (
ل ةن ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۱۱۱
صفحه 234:
ری اد با فرمول تسس
2 + 7 - 2 رو با < تر
بنابراین خواهیم
:داشت
ف
۸ - | م + لو dv
رم اماج +ثر) م **] م قه-
dydx بو **[ 4
0000606
صفحه 235:
3ك
ده ند - كه (ثد فر ثه) مطقة-
: اكر در نظر بكيريم
۲-۳0 7-2 8
X=a> 0 =" x=0> <0
۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ NIL) wy
صفحه 236:
x
AW) اه
a bi(3 +b-a ‘sina bosed
3
ua (;, je. 22
3
2
2 2
و
=
eS
صفحه 237:
: تعریف ژاکوبین
فرض 25 V=v(%y) » u=u(Xx,y) دو تابع
دومتغیره پیوسته باشند بطوریکه مشتقات جزئی مرتبه
اول پیوسته داشته باشند لذا
رما 7 »2 060۲۷ 0110۲۷
= Vou تابعی
axOy ayox ۲ 2 بر
6 _ شا
“(xy aay
le
ری ۸۸۸ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۸۱۱۱۱۱
صفحه 238:
در مورد تابع سه متغیره ژاکوبین بطور مشابه چنین
اتعرلف فى شود
u=ux, y,2 4
هرک سا رز اب
ou av
0 a
5-5 Oy. oy
xyz) 00:2 :
av
02 22
>
صفحه 239:
تعریف قبل بهمین ترتیب برای توابعی با بيش از سه متغير نيز
تعمیم می یابد
از ژاکوبین برای تغییر متغیر انتگرالهای چندگانه استفاده می
شود بدین ترتیب که 26 نو انتتولل
y=Kun, xxxhuw.
تغییر داده شود عبارت 1/4) برحسب جملات " و ۲ بدین
صورت تغییر می کند :
da=j{*2| dud
“vy,
"۱
صفحه 240:
ae
: به عنوان مثال در تغییر متعیر به مختصات قطبی
X=pco# , y=psiw
cog 7 |_ ار
2,0) | psi pco#
=pcosd + psing =p
= dA=p 66 0
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 241:
an
2 ] هم( ود
مهال ار ۳ :
: بنابراين بطور كلى داريم
= f B fra Vdudv
.و بطور مشابه نیز برای توابع سه متغیره محاسبه می شود
vo000000000
صفحه 242:
٩۰۵ ۰۵۰۵("(00۵4
صفحه 243:
: مثال
انتكرال دوكانه زير كه در دستكاه دكارتى است را به دستكاه
: قطبى تبديل و سيس محاسبه مى كنيم
7
X=rcog 0> و
۲-511۳ 0۵
1 per? ja- x- ydyd
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.=
سس
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 244:
3
2
se
|
a 2 2
مرس هن 6 T=8
ارم 1 -
@
3
a
\Z
انا
صفحه 245:
اج
بهمین ترتیب تغییر متغیر (برای توایع سه
متغیره ) به دستگاه مختصات استوانه ای بطور
: خلاصه چنین می شود
2-2 ,7020
وتغییرمتغیر به دستگاه مختصات کروی برابر است
:با
I,0,y)=p six
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 246:
ZS
ری ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۱۸۱۸۸۸۸۸
: متال
اگر جسمی باشد که در ناحیه اول ممتصات قرار
داشته باشد و توسيا رد 7 + ۳ ۲ ۶
و صفحات مختصات محصور شده باشد .
760 او أرا الف) با استفاده از مختصات كروى
. ب) با استفاده از مختصات استوانه اى ييدا كنيد
صفحه 247:
= f J fecossiyXosimsiny)
009.۵ Sinp db db) dp
J J sir) cogsingcomdady
۱1 ۱ ۱ لا
ای ۱۸۸۸۸۸۸ ۱۱۱۱۱۱۸۱۸۸۱۱۱۱۸۱
او
صفحه 248:
۳
: ادامه قسمت الف
singcow a
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 249:
mas
en:
f i Sage
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
3
ghie 7 بر
0
صفحه 250:
Se
: ادامه قسمت ب
=; f f Ge Ae co#simwdrd
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 251:
ye
7
نوم | - - و
. بنابراین از هر طریق جواب یکی است
صفحه 252:
a
: انتگرال خطی
مقدمه: می دانیم حاصلضرب تغییر مکان و مولفه نیروی
وارده در جهت تغییر مکان را کار انجام شده توسط این
. نیرو گویند
شارت یگ اگر نيرو واكه ۰ تنبير مكان باهد :
F.R=|F Rco@
مولفه F در امتداد تغییر مکان
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 253:
a
فرض كنيم كه () منحنى نمايش يك تابع Fo jlo yp
در فاصله (2,12) Eu و بك نيروى بردارى باشد
كه در روى ens HAE tas C
[a,b]
قابل انتگرال گیری باشد . در ابنصورت کار انجام شده
توسط نیروی برای بحرکت در آوردن یک ذره در
w= LP DEP امتداد 6 از
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 254:
Se
ی ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱
: مثال
Fx p= ly i+ (xe اگر نیرو یآ(
را داشته باشیم مقدار کار انحام شده توسط این تیرو را
برای بحرکت درآوردن ذره ای در امتداد 80-2 از
(4)0,0 تا (1,1) را بدست آورید.
صفحه 255:
ZS
ری ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۱۸۱۸۸۸۸۸
پاسخ
i= 2۷۵ - ۵۶+ Dj
v=
Yoo.
< ل] + 0> 2>1
[x=t= O< x<1= 0<t<1|
> R@®=i+j7 W@W
صفحه 256:
ye
7
: ادامه مثال
FUR) =, رق خ) + نه ti
w=[ FUR). Rat
ae ie
| سول | ->
وح ی
صفحه 257:
اج
: انتگرال روی خم
) عبارت از خم((۵)8,)ه) :> > 2
انتگرال روی خم FOXY) در مسیر 0 :
: 5 م۶
GO, G Wd .)90,60 (=
لول ووو ون ؤؤؤوووووو
صفحه 258:
اج
ی ۱۱۱۱۱۱0۱0۱۱۱۱۱۸۱
: مثال
انتگرال روی خم روبرو را محاسبه كنيد bye di,
که ن) عبارت است از خم زیر :
0
y=2tan 7 8+ 3
2 +1 اس (۶>1 > 0),
صفحه 259:
ae ds
[iene ]- +3
1+7
Pee
: ot eee ila
1+£ 1+ 7
=
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 260:
2tan ]- ay > fe ll
1+
ao ا tan "dean D-
at
1+ م
3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 261:
ye
7
: ادامه يا 2 3
)2
ر + = he ار
صفحه 262:
oR
اد
مثال :
مطلوبست محاسبه انتگرا[۵( حل ) +3 نو ] -
در مسير خطهاى زير كه دو نقطه (0,0) و (1,1) را
بيكديكر وصل مى كنند :
الف) خط 587-36 :
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 263:
اج
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 264:
NY
a
2 71
5 5 2 35 ۲
صفحه 265:
دیفرانسیل کامل یا واقعی
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 266:
یادآوری
: با فرض اينكه 90 ) ل ح 82 )باشد داريم
FQJ=¢ fd.
F(x) دیفرانسیل f(x) dx
است
ل ا
ZAIN
صفحه 267:
بطور مشابه اگر (3,۷ و (6,۷ ۵ دو تابع دو متغیر 2
باشند آنگاه در صورتیکه برای
10 ۷ 0 +4۲ (زر)
تابعی مثل (۳),۷ وجود داشته باشد که
( بدك رم - ( به
Py, 7 - اذ 32 9
x
۱۱ ۱ ۱ ۸۱
صفحه 268:
اج
دراینصورت رابطه (1) را دیفرانسیل واقعی یا
FOX y) bls گویند و با بعبارت دیگر برای تابع
F(X y) دیفرانسیل واقعی با کامل چنین تعریف
فى شود >
0-٩ Fax © Fay
Ox Oy
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 269:
FY, Y= xy
dK x, y) = yd xd:
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 270:
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 271:
ye
7
شرط لازم و کافی برای آنکه 4 P(x,y)dx+
۷(۷,)
یک دیفرانسیل کامل باشد این | 0-2
OV OX
صفحه 272:
اج
مثال 3:
اگر x Q-=(x y) 9 P(y)=y باشد
ce رو
ydx-xdy بنابراین Ox
دیفرانسیل کاملی نیست .
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 273:
اج
مثال4 :
آیا عبارت روبرو دیفرانسیل کاملی است ؟
(x+ y+ De*- عه أله (xt yeDe™ a
ارحل). : بله زيرا
x 32 7 0
St yr De - 3 =e -e
yt De Deg. بع - گم ا
DOOODOOD LON DODD OODONDOD
صفحه 274:
ye
7
میدانهای برداری کنسروانیو
: با میدانهای برداری نگهدارنده
اگر تابع اسکالر ۳ بنحوی وجود داشته باشد که
برای ]دار داشته VF sk در اینصورت
۳ را پتانسیل با (نگهدارنده ) نامند .
دراینصورت را يك ميدان بردارى كنسرواتيو
۰ نامند و داریم ۱۷۲-۵
صفحه 275:
اج
: متال
ثابت کنید که عبارت زبرکنسرواتیو است و تابع
. يتانسيل آن را بدست آورید
۷ رم + زر 2 بی- eer
(- x+ y+ 20k
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 276:
اج
i i k | &)
oO 0 2 -0
Ox oy 02
+ 2۳۰ 2 عير عم - xt yt
-
x
Sk
1
Ve یک میدان برداری کنسرواتیو
. است
ا |
3
t
لول ووو وان ؤؤؤوووووو
=VitVj+VUk
صفحه 277:
< 1۷ <- + 2۶ 27
Cee fsy2dx-
x +2yx ze yd )0(
=2x+ Ey, D=V, =2x- + 2
جع جر -- وبر
bee oS
صفحه 278:
3
2( هلا جر + i ay
2 عومد + د - هر MQ Fly
+ ye Sy +H ©
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 279:
ادامه جواب :
2- )7 جح2 + بو -- را,
16 - pedez +e (2
34= Fly y.D=5x + 2ay
2 12
ی =
اللو ةو ووو ون ؤؤؤوؤووووو
صفحه 280:
کرل (چرخه ) چرخش
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
۳
=
=
=
=
=
صفحه 281:
اج
: تعریف کرل
اگر تابع برداری 1 در همه نقاط تعریف شده مشتق
a در اینصورت : مب
cunl=Vxu- a
Ox ay? ae
1
oy
“B
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 282:
اج
:مثال
کرل »را در نقطه (1,1,1) محاسبه كنيد:
u= xyé+2x y9+2yzk
ie)
1 2
داق یگ لته
2 2
XYZ - 2 27 2
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 283:
ez + 2x y+ xyf- Axyz Xi
ادامه جواب :
27» :41,1,1( + ار 5k
vo00000000)
صفحه 284:
NY
7
iS
7
2
اگر 2-0 ۷دراینصورت ۷ را تابع هارمونیک گویند .
صفحه 285:
le
See deat ad ۱/
: مثال
لاپلاسین ا رادر نقطه (1,0,1) محاسبه كنيد.
2-2-2 3
11-0 [22 + ۲
Ou Gu,ou حبرا
ax ay az
- 1 272 + 6+ 125 2 + 12 مز
2 ۷ ۲1,۵۵ 0+ 6+12 0-8 7
صفحه 286:
انتگرال رویه ای
برای تعریف و محاسبه مساحت و سطح رویه از انتگرالهای
چندگانه استفاده می کنیم :
5 قسمتی از سطح رویه که بوسیله منحنی بسته "1 محدود
شده و (1)3,897-/معادله سطح رويه 5
(با شرط اينكه هر خط موازى با محور 2 فقط در يك نقطه
سطح 9 را قطع کند محاسبات قابل انجام شدن Gol
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 287:
0
تست
صفحه 288:
اج
ی ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱
) تصویر che cs) 6 و لزاویه هادی خط
عمود بر ٩ يا قائم بر 5 است و پس از تقسیمات جزئی
روی مساحت ومجموع و حدگیری بطور خلاصه و در نتیجه:
S={, segdA=
Vaal a”
2 (4 +1 dxd
۳ 0
صفحه 289:
WY
۳۳
بطور مشابه اگر بر سطوح دیگر مختصات نیز تصویر کنیم با
توجه به زوایای هادی فرمولهای مشابهی حاصل می شود و
بطور کلی انتگرال تابع (11)3,7/,2 روی سطح
: را میتوان چنین تعریف نمود Z=L(XY)
S= [hx yds
معد اد ]ریم سال
ی ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱
صفحه 290:
سال 2 2 1
مساحت قسمتی از استوانه Xe ty =a را که در 58
اول دستگاه مختصات بین سطوح <۶ و Z=MX
ls ea Sis كنيد .
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 291:
بدیهی است که فقط این سح روی مفحات
ایا ل6لقابل تصویر نمودن است چون
قائم بر سطح 267 روی سطح قرار دارد لذا روی
7 قابل تصویر نمودن نیست .
حال با تصویر روی XZ داریم :
HHHKHKHHOH HDHD HHH HOODOD
صفحه 292:
2
y =a-
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 293:
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 294:
: منال
انتكرال رويه اى ير بسكل[ در صورتیکه رویه
Zi 2
سهمیگون ]¥+ أ ] 2 وه و 1-1 ات
محاسبه کنید . ( توضیح اینکه چون اس S= ffi
یعنی مقدار انتگرال رویه ای همان سطح رویه 5 است .(
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 295:
دير دك ل is
مع “0ر0 + “س2 +1 ل
fu Ax +4y dxdy |
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 296:
اج
ادامه جواب : تصوير را روی صفحه 26۷ می نماییم :
2.2 2 2
2- ثر + ثم دم- |ثر + | -2 R: Z=0=>
5-4 f 1" 1+ 4r rdrd
خا مد له بل مه
f 1 0 25
DOOOOOODOOD DODD OOD OOOOD
صفحه 297:
ye
7
: تعریف دیورژانس واگرائی
لجن + رنه + یلا < 2 1 وکا تابع برداری مفروض :
آکر قنم تدای اهر تمام تقاط ری ده ی در اند
دیورژانس تابع لا عبارت است از :
6 6
u= ai +— j+—kK\.u 01-7
027 0
- 94 , OU, OU;
ax ۵۲ 2
صفحه 298:
بعال
دیورژانس ا را در نقطه (1,1,1) حساب كليدة
5 3
u=xyit y 7+ xyzk
diviz yz By ze Sxyz=1+ 3+5=9
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 299:
: قضيه كرين در صفحه ۳
Fly Y= Py pit Oy Yj
اگر *1 یک میدان درصفحه 3 باشد که توسط منحنی ©
محدود شده ( منحنی بطوری است که هر خط موازی
محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع نکند )
اگر ۲ و © توابعی پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول
پیوسته باشند در اینصورت 60 0
DOOODOOD LON DODD OODONDON
صفحه 300:
اج
۱
بعال
. با استفاده از قضيه كرين انتكرال خطى زير را محاسبه نمائيد
مود عه (ر +شا-7
1- #۴ + ره
7 < ]- 2 2۵۲۵
=- Aj fydxdy
صفحه 301:
۳
z=- 4f" (@sim) rdré
ات 1 a
زور 40 >
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 302:
: تبصره
قضیه در حالتیکه منحنی بسته ) طوری باشد که
هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو
نقطه قطع کند نیز صادق است .
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 303:
: مثال
انتگرال خطی زير را روی مسیر داده شده حساب کرده و سپس با
1
: استفاده از قضيه كرين مقدارانتكرال را بدست آوريد و مقاب
T= [yd 2x ly
0
ee
R=|(y plo< x<10< y<1}
صفحه 304:
le
(رس)
یت Te PE
y=0= dy=0
0<x<1> dx=d)
ب
Cs >
x=1> dxy=1
0< y<1> dy=d)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
22 روی سیریر6
صفحه 305:
اج
y=1= dy=0
Go” \§er<le شيل
x=1> dx=0
G6 > :
: coe dy=dy
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 306:
le
ادامه جواب :
= fodaxt 2x(0)+ ] +(0ر 200+
{dxa 2x(0)+ f yfo)+ Addy
=f2dy (dx
ره وا روت
1-1 2 و2
ب
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 307:
اج
حال با استفاده از قضیه گرین
7 < ] /2-
= | fjdxdy= § dxf dy=1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 308:
ننیجه : 5 مساحت میدان * را می توان از یکی از فرمولهای
وثر يديه
S={xdy={fdxdy
S={ydx-- | {dxd
ydx xdy و
=
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 309:
=
MWY
۱۷۱۱۷۱۱۱۱00۸
TS
: مثال
با استفاده از قضیه گرین سطح بیضی 1
زرا بدست اورید
Ge) : می دانیم معادلات پارامتری مسیر بدینگونه است
20
D=xXDi+ fOj
260 - 2009۲ 0-- 0
۵ ب۳(۳۴- 0-۸
ات
صفحه 310:
اد
a
ee a eG ۱/
ادامه جواب :
7 مر ع(0<
م
لاه ۰0510 ]2 -
بر ۵1 2۳ ارهز -
=zal 7 0 لعفو + =F
صفحه 311:
: تبصره
در مختصات قطبی مساحت از فرمول زیر به روش قبل
: محاسبه می شود
5 8
««(ط(آصطظ(آ" (ص" ووو ووو
صفحه 312:
: اولین فرم برداری قضیه گرین
+ ۳ <
آبردار واحد مماس بر متحنی ۳ MBi+ = 2
m SK
ری ۱۱۱۱۱۵۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱
2
ie SS ak = Ta:
F.Tds=q F.dk = Pdx+ Qdy= XF).kdxd) dA
1 |
كما برداری است عمود بر میدان و به طول (0«6< ||
صفحه 313:
is
۳ ( مک بانگر جهت ومیزان شار 10وی
Ww
ار ع 0ن ee لون عارت
از انتكرال مولفه اى از شار است كه ذر جهت مماس بر
ae ۳ است و بنام كردش F در اطراف نقاط مرزى
R موسوم است
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 314:
قضیه دیور ژانس (قضیه گرین در فضا)
: مقدمه
بردار نرمال خارجی یک رویه : برداریست که
بر رویه عمود بوده و جهت ان به طرف خارج رویه
اد
=
=
=
=
=
=
=
=
>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
صفحه 315:
ae
مثلا : اكر يك كره بمركز مبدا مختصات و شعاع 1
( 12ح 22 + 2لا + 82 ) داشته باشيم .اين
كره محور 7 ها را در نقطه ۸و ظ قطع می کند آنگاه
بردار نرمال خارجی این کره در دو نقطه ۸و ظ به
ترتیب >1 وک یعنی در جهت مثبت ومنفی محور 7
| 00 R, AQO, R), ها خواهد بود
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
صفحه 316:
اج
ب ۸۸۸ ۱۱۱۱۱۱0۱۱۱۱۱۱۱۸۸
: قضیه دیورژانس
. عملا تبدیل انتگرال سه گانه به دوگانه و بالعکس است
فرض كنيد 5 یک رویه و ۷ فضای داخلی آن [1
بردار يکه نرمال خارجی بطوربکه تابع برداری 5
علايكر اند تر 4 +4۸ <۸4
که خر و ر و خد توابع
پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته باشند در
صفحه 317:
اج
ری ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱
He +24. + Alav=
J fidyvds A,dxdz A,dxdy=
SA cosu+ A,cocw A,coswds
صفحه 318:
اج
۱۱۱۰۱۹ (۱/۰/۱۱۹۱:
of Spade foe
دیورژانس
که او ۲و ۷ زوایای بردار نرمال خارجی رویه 5 در
© جهت مثبت مثلثاتی با محورهای مختصات است .
صفحه 319:
صفحه 320:
:حل [fone | PAV ام
مهد جرد دار 1 ef ig 0۲ i
=) fox 2y+ Ddydx
. fox Dy+ vax
:- fox Dde=¥ +285 -3
صفحه 321:
0
قزر
صفحه 322:
3
دا ۸ ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۸۷۸
ادامه حل : رويه 5 جنين است که از شش سطح
تشکیل شده cpl ply > دا ریم :
eet Ll
S=ABCD, n=i 1-1
f fi.nds- [eis tae 2m
: [fas { fava
صفحه 323:
a
۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ ۸ wy
: ادامه جواب
=GOEEFn-=- i,x=0
f-nds-- [ fas-o [ ب
A
S = AGFDn=k, z=1=>
ا عور
صفحه 324:
ae
ری ۸۸۸ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۸۱۱۱۱۱
: ادامه جواب
BOECn=-- k z=0=> ~= و
{ f-nds-- J4as-0
DFEGn= j, y=1> - و
[finden حمق[
صفحه 325:
aS =AGOBn=- j, y=0>
j fFnds— | 7 0
300
االو وو ؤؤؤوؤوووة
صفحه 326:
2 ae
0000000000000 00000 DOO wy
4 ‘pdy¥ qdx=qF.nds= f fivFdxa
GivPLV Fae OF با توجه به اینکی
ox oy
صفحه 327:
ما
مرتبه اول در ميدان باز درقصفحه بائاكة و
میداقل در باشد گه نقاط مرزی آن يك منحنى
بت باه اند نانک ند 1
9 |
Sees ۱۳9۹
-
=
=
=
2
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 328:
Je:
۱
Hie 5 :
:مى دانيم مشتق جهت دار G امتداد طبارت ست از
I Von
ws
on
= نبا جایگزاری داریم
0 ds= 1۷۵2۵9 il YVVgaxd
8 on R
۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۷۱۷ ۰/۷۰ /۸
صفحه 329:
حالت کلی قضیه گرین :
فرض کنید که رویه طقري باشد که تصاویر آن
در صفحات مختصات بوسیله يك منحنی بسته
ند در همع هموح z= AG Y)
معادلات رویه باشند و توابع کته و دارای Clase
تا
A=A i+ AJ++Ak= [Adr= ] ۳۸۵6
dr=dxi+ dyj+ dzk on Wer cree soen AAA با توججه به ینک
۳
OOOODOOHOO DOOD DODD OOOON
صفحه 330:
عد .ا
ما 9 هيو
A=Zi+t xj s:0<x<1,0<y<l1z=1-~
Jee
:مي خواهیم تساوي زیر (فرمول استوکس) را نشان دهیم
تصویر گروي ۳ از چهارمسیر 4 4 و تشكيل شده
4 dr= f Vx]. nas
2
=
-
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
صفحه 331:
1
3
G.
.
Z=1:4: y=00sx<1> ay=0
G:x=10<y<l= dx=0
G,: y=11<x<0,dy=0
G,:x=01< y<0,dx=0
=
-
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
><
صفحه 332:
است پسر٩ موازى صفقافة جون رويد 2-1
ار ] 0۶ | حدم | WxAnds= [ ۵-1 +ز)-۲۷<۵2)
=
=
=
=
=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
>
بسم الله الرحمن الرحیم
خسرو حجتي
ریاضی عمومی 2
2
رويه ها
خسروحجتي
استوانه1-
4
خسروحجتي
تعريف :هر گاه cيك منحني(منحني هادي
استوانه) در يك صفحه و Lخطي ناواقع بر
اين صفحه باشد ،خطي كه متكي بر cو
موازي با Lحركت كند(مولد استوانه) رويه
اي توليد ميكند كه استوانه يا رويه استوانه
دارد
نام
اي
2
2
c : x y 1
•مثال:
2
2
L : Z 0
•استوانه x y 1
5
خسروحجتي
6
خسروحجتي
راه حل كلي حل مسايل:فرض
f (x, y, z) 0
c
g(x, y, z) 0
• هادي و Dيك مولد استوانه باشد:
a1x b1y c1z
c
•
فصل
شكل
به
را
D
a
x
b
y
c
z
2
2
2
• مشترك دو صفحه در نظر ميگيريم و دستگاه
معادالت حاصل را با حذف ,x,y,zحل
ميكنيم و سپس بجاي , مقدار ميگذاريم.
معادله استوانه بدست ميآيد.
7
خسروحجتي
مثال:معادله استوانه اي را بنويسيد كه خم
هادي و امتداد مولد آن داده شده است:
x y z
a x y z
c
,D:
a
2 1 3
x y z
2
:حل:فرض كنيد
2
2
x z
:داريم
2
2
x
y t, r
2
2 3
8
خسروحجتي
x2 y2 z2 2
ادامه حل:
a
a
a
x
y
z
z
x
y
2
2
x
c y t
2
x 1 a
x z
2 3 r 2 3( 2 x y) r
t
a
5
r a
t 3
a
x r , y ( )t , z ( )r
3
خسروحجتي
6
6
2 12
2
2
4
9
ادامه حل x,y,z:را در معادله كره قرار ميدهيم:
1 25 1 2 9 1
3 5 2
2
( )t ( 1) r ( )tr
4 36 9
4 4
2 6 3
1 5 1
3 1 1
(
)ta ( )ra
4 36 9
4 12 3
1
1
1 2
2
(
) a a
16 144 36
پس از ساده كردن و جايگذاري t,rبر حسب
x,y,zداريم:
خسروحجتي
x
x z
2
ادامه حل:
x z z
2
76( y) 252( ) 120( )( y)
2
2 3
2 3 2
x
x z
16( y)a 30( )a 65a2
2
2 3
پس از ساده كردن نتيجه نهايي چنين ميشود:
22x 76y 28z 64xz 40zy
2
2
2
16ay 7ax 10a 16xy65a
2
11
خسروحجتي
رويه دوار 2-
خسروحجتي
تعريف :منحني cوخط Lرا كه هر دو روي
يك صفحه واقع هستند را در نظر ميگيريم:اگر
( cمولد رويه) حول ( Lمحور دوران) دوران
كند .رويه اي ايجاد ميشود كه رويه دوار نام
دارد.
روش حل:در صورتي كه منحني در يكي از صفحات
مختصات و محور دوران يكي از محور هاي مختصات باشد
كافي است در معادله منحني فقط بجاي نام متغيري كه محور
دوران نيست جذر مجموع مربعات دو محور غير دوران را
.جايگذاري كنيم
خسروحجتي
معادله رويه دوار
محور دوران معادله منحني
F(x, y z ) 0محور x
2
2
F( x z , y) 0محور y
2
2
x z ) 0
F( x y , z) 0محور y
F(z, x y ) 0محور z
F( y z , x) 0
2
2
2
2
2
2
2
14
F( y,
2
محور z
)F(x,y
=0
Z=0
)F(y,z
=0
X=0
)F(z,x
=0
خسروحجتي
مثال :رويه حاصل از دوران خم xy=1
حول محور xرا پيدا كنيد.
حل:
z 1
2
y
2
x
15
خسروحجتي
ساير رويه هاي درجه 3-
دوم
خسروحجتي
اصول كلي رسم نمودار رويه ها:
• -1محل برخورد با محور هاي مختصات را
بدست آوريد.مثال:با قرار دادنy=z=0
• -2محل برخورد با صفحات مختصات را
بدست آوريد.مثال:با قرار دادنz=0
• -3محل برخورد با صفحات موازي صفحات
مختصات را بدست آوريد.مثال:با قرار
دادنz=k
17
خسروحجتي
صورت كلي رويه هاي درجه دوم:
2
2
2
Ax By Cz Dxy Eyz
Fzx Gx Hy Iz J 0
حالت خاص:اگر ضرايب جمالت حاصلضرب
صفر شود
2
2
2
Ax By Cz Gx Hy
Iz J 0
خسروحجتي
روش حل مسايل حالت خاص:
• عبارتهاي درجه دوم در معادله را به مربع
كامل تبديل كرده ومعادله را به يكي از
صورتهاي استانده(استاندارد) در ميآوريم.
• معادالت استانده در ادامه توضيح داده
خواهدشد.
19
خسروحجتي
-3-1بيضوي:
y
x z 1
a b c
2
2
2
2
2
2
روش شناخت:
سه جمله مربع هم عالمت سمت چپ وعدد يك سمت
راست تساوي
20
خسروحجتي
21
خسروحجتي
-3-2هذلوليوار يك پارچه:
y
x z 1
a b c
2
2
2
2
2
2
روش شناخت:
سه جمله مربع كه فقط يك جمله منفي (كه نشان دهنده
محور شكل است) سمت چپ وعدد يك سمت راست
تساوي.
خسروحجتي
23
خسروحجتي
-3-3هذلوليوار دو پارچه:
y
x
z
24
1
a b c
2
2
2
2
2
2
روش شناخت:
سه جمله مربع كه دو جمله منفي سمت چپ (جمله مثبت
نشان دهنده محور است) وعدد يك سمت راست تساوي
خسروحجتي
25
خسروحجتي
-3-4سهميوار:
y
x
z
a b
2
2
2
2
روش شناخت:
دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله درجه يك در سمت ديگر
تساوي .همه جمالت هم عالمت (جمله درجه يك نشان دهنده محور است)
26
خسروحجتي
27
خسروحجتي
-3-4سهميوار هذلولوي(زين اسبي):
y
x
z
a b
2
2
2
2
روش شناخت:
دو جمله مربع مختلف العالمه در يك سمت ويك جمله درجه يك در
سمت ديگر تساوي (جمله درجه يك نشان دهنده محور است)
28
خسروحجتي
29
خسروحجتي
-3-4مخروط:
y
z x
c a b
2
2
2
2
2
2
روش شناخت:
دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله مربع در سمت
ديگر تساوي (جمله تكي نشان دهنده محور است)
30
خسروحجتي
31
خسروحجتي
مثال:رويه زير را شناسايي كنيد:
2
2
2
6 x 2 y 3z y 0
حل:
32
12 1
2
6 x 2( y ) 3z 0
4
8
12
1
2
2
6 x 2( y ) 3z
4
8
2
هذلوليوار يك پارچه
خسروحجتي
روش حل مسايل رويه ها در حالت كلي:
-1ماتريس صورت درجه دوم را مينويسيم.
-2مقادير ويژه را بدست ميآوريم(ضرايب جمالت درجه
دوم جديد)
-3بردارهاي ويژه را بدست ميآوريم.
-4ماتريس تبديل مختصات را مينويسيم(با قرار دادن
بردارهاي ويژه يكه در ستونها).
-5معادالت تبديل مختصات را بدست ميآوريم و در
عبارت درجه يك قرار ميدهيم.
-6نتيجه بند2و 5را در يك عبارت ساده ميكنيم.
خسروحجتي
:رويه درجه دوم زير را شناسايي كنيد:مثال
3x 4 y 5 z 4
xy 4
yz 2x 3y 4z 20
2
2
2
2 2
3
2
0
(3
2 2
:حل
0
3
2
0
4 2 2
4 2 o
2 5
0
2 5
)(4 )(5 ) 0 0 [0 4(3 ) 4(5 ) 0
2
(3 )( 9 20) 8 320
2
خسروحجتي
3
9 20 3 27 60 8 320
2
2
34
3
12 39 280
2
ادامه حل:
11 28) 0 ( 1)( 4)( 7) 0
1, 4, 7
2
( 1)(
1
خسروحجتي
2
3
0 x
2 2
2x 2y 0
x y
2 3 2 y 0 2x 3y 2z 0
1
z y
2
0 2 4 z
2y 4z 0
1
1
2
v1 y 11 u1 3 11
2
2
35
2
4,
1 2 0 x
x 2y 0
2 0 2 y 0 2x 2z 0
2y z 0
0 2 1 z
2
2
4 2
1
2 3
y
1
1
,
7
v2 u2 3 3
2
2
0 2
1
4x 2y 0
2
1
x
y
1
2
x
3
y
2
z
0
y
2
v3
2y 2z 0
z y
1
خسروحجتي
:ادامه حل
x 2y
z 2y
0 x
2 y 0
2 z
1
2
2
u3 3 1
1
36
:ماتريس تبديل مختصات:ادامه حل
2 2 1 x
2 2 1 x
1
1
2
1
2
y
2
1
2
y
3
3
1 2 2 z
1 2 2 z
معادالت تبديل مختصات كه بايد در عبارت درجه يك
1
:جايگذاري كرد
x ( 2x 2y z)
3
1
1
y (2x y 2z), z (x 2y 2z)
3
3
37
خسروحجتي
ادامه حل:حال iرا بترتيب ضريب x, y, z
و معادالت تبديل مختصات را در عبارت
درجه يك قرار ميدهيم:
2
x 4y 7z ( 2x 2y z)
3
4
(2x y 2z) (x 2y 2z) 20
3
2
2
2
x 4y 7z 2x 5y 20
2
2
2
38
خسروحجتي
ادامه حل:
5 2 25
2
(x 1) 1 4( y )
7z 20
8
16
52
25
2
2
(x 1) 4( y ) 7z 20 1
8
16
2
.بيضوي است
39
خسروحجتي
مختصات
خسروحجتي
:مختصات قطبي
)
y A(x,y)=(r,
x
x r cos
y r sin
r 0,
r 2 2
x y
1 y
tan ( )
x
قرارداد:
41
خسروحجتي
z
A(x,y,z)=(r, ,z)
r
x
r 0,
y
:مختصات استوانه اي
x r cos
y r sin
z
z z
2
y
2
r x y
x
1 y
tan ( x) : x 0
1 y
قرارداد: tan ( x) : x 0
z z
42
خسروحجتي
معرفي بعضي شكلها در مختصات استوانه اي:
R=0محور zاست.
2
2
2
x y cمعادله استوانه در مختصات دكارتي
R=cمعادله همان استوانه در مختصات استوانه اي
0مجموعه نيم صفحه شامل محور zو نيم خط
r 0
Z=cمعادله يك صفحه كه محور zبر آن عمود است
43
خسروحجتي
z
مختصات كروي:
A(x,y,z)=( , , )
r
x
y
z
y
x
قرار داد:
0, , 0
خسروحجتي
x sin cos
y sin sin
z cos
2
2
2
x y z
1 y
: x 0
tan
x
1 y
tan
: x 0
x
1 z
cos
44
:معرفي بعضي شكلها در مختصات كروي
r
كروي
0
0
x y z r
2
2
2
2
كره اي به شعاع rدر مختصات دكارتي
نمودار نيم صفحه اي شامل محور z
نمودار نيم مخروط
45
خسروحجتي
توابع برداري
تعريف تابع برداري يك متغيره:
و n=2يا n=3
كه در آن
• تابع
را يك تابع برداري يك متغيره ،مجموعه Aرا دامنه
و مجموعه را برد اين تابع مينامند.
• به ازاي n=2و f(t)،را ميتوانيم به صورت
بنويسيم .كه در آن
توابعي حقيقي روي Aهستند .از
طرف ديگر ) f(tمعرف نقطه اي چون
است .بنابراين داريم:
47
)x f (t), y f (t
ادامه تابع برداري:
• معادالت فوق را معادالت پارامتري نگاره
را مؤلفه هاي fو متغير tرا
، fو توابع
يك پارامتر مينامند.
• به همين ترتيب:
1
2
2
1
f ,f
: A R i 1,2,3, f (t) ( f (t), f (t), f (t)) : t A
3
2
مؤلفه ها
48
1
i
f
n 3,
)x f (t), y f (t), z f (t
3
2
معادالت پارامتري
1
مثال:معادالت پارامتري نگاره fرابنويسيد.اين
نگاره چه شكلي دارد؟
) R , f (t) (t,t ,t
x t, y t , z t
معادالت پارامتري
3
حل:
49
2
3
3
2
f : R
50
تعريف حد:تابع برداري f : A R Rبا (
: A R Rباf
))()f (t) ( f (t), f (t
)))f (t) ( f (t), f (t), f (tدر نقطه t tداراي
) (l1,l2,l ),L (l1,l2
است Lاگر
حد
lim f1(t)l1,lim f2(t)l2 ,lim f3(t)l3
2
3
2
3
1
2
0
1
3
t t0
t t0
t t0
• به عبارت ديگر تابع fدر نقطه tحد
دارد اگر و تنها اكر هر يك از مؤلفه هاي
آن در اين نقطه حد داشته باشد
0
51
مثال:حد تابع زير را در t=0پيدا كنيد:
)f (t) (sint,t2 1
2
sin
t
,
t
) 1) (0,1
(lim
:حل
n
t 0
تعريف پيوستگي :تابع : A R Rكه fدر آن n=2
يا n=3در نقطه t a Aپيوسته است اگر داشته
)f (t) f (a
lim
باشيم:
t a
Fرا روي Aپيوسته نامند اگر در هر يك از نقاط A
پيوسته باشد .يعني وقتي كه هر يك از مؤلفه هاي آن
پيوسته باشد.
52
مثال :آيا تابع زير در نقطه داده شده پيوسته
sint 1
است؟
(f (t)
,
,t lnt),t 0
حل:
يست.
1 t
t
چون مؤلفه اول پيوسته نيست بنابراين تابع پيوسته
f : a,b Rn
a b
با
تعريف اثر:اگر
2
روي]a,b[R
پيوسته
وn=2يا n=3تابعي
3
R
باشد ،آنگاه fرا يك خم در يا
مجموعه
يعني
f
مينامند.نگاره
f a,b f (t) f a,b
53
روش يافتن اثر خم:با نقطه يابي يا پيدا
كردن محل برخورد دو رويه كه از حذف
پارامتر بين هر دو مؤلفه تابع بدست ميآيد.
•مثال:قسمتي از خم زيركه در يك هشتم
اول دستگاهمختصات است را بدست
y2 4z, x2 4y
آوريد:
•حل:
54
55
•تمرين:قرصي به شعاع aدر صفحه xoy
روي محور xبدون اينكه بلغزد ميغلتد.
نقطه qبر اين قرص واقع است .معادالت
پارامتري qرا پيدا كنيد.
•حل:
q
C
F
B1
56
A B
E
D
O1
O
q:(x=oB-:ادامه حل
AB,y=oD+DE)
: q مسافت طي شده بوسيله
o1q B1q a1t
: داريمCFqدر مثلث قا‍یم الزاويه
AB=CF,DE=Fq
CF a1 cos(t
Fqa1 sin(t
2
) a1 sint
) a1 cost
2
x at a1 sint, y a a1 cost
57
تعريف مشتق:تابع برداري fدر نقطه x=t
مشتق پذير است اگرحد زير وجود داشته
n
باشدf :[a,b] R , (n 2or3), x t [a,b] :
1
))( f (x) f (t
lim
x t x t
• بديهي است در نقاط t=a ,t=bمنظور از
وجود حد فوق ،وجود حدهاي يكطرفه است.
در اين صورت حد فوق را مشتق fدر نقطه t
مينامندوبا نمادهاي زير نشان ميدهند:
df
58
) f (t
dt
توضيح:به ازاي f (t) ( f1(t), f2(t)) : n=2
به ازاي f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t)) : n=3
•بنابر اين fدر نقطه tمشتق پذير است اگر
وتنها اگر مؤلفه هاي آن در اين نقطه
مشتق پذير باشند
•مثال:مشتق تابع رادر نقطه داده شده پيدا
f (x) (e x , lnx,1 x ), x 12
كنيد.
2
2
3
4
1
)f (x) ( 2xe , 1x, 2x) f ( 12) ( e ,2, 1
59
1 x2
:[a,b] R,
)(قواعد مشتق گيري:قضيه
n
n
n 2or3: g, f :[a,b] R , , R
((f g))(t) f (t) g(t)
( f .g)(t) f (t)g(t) f (t)g(t)
( f g)(t) f (t) g(t) f (t) g(t)
(f )(t) (t) f (t) (t) f (t)
60
2t t2 1
f (t) ( t 1,t 1,2t), g(t) ( 2 , 2 ,2t)
t 1 t 1
(t) ln(2t 1),( f .g)(0) ?,( f g)(0) ?,(f )(0) ?
2
f (0) (1, 1,0), g(0) (0, 1,0), (0) 0
2
2
2
2
:مثال
:حل
2(t 1) 4t 2t(t 1) 2t(t `1)
g(x) (
,
,2)
2
2
2
2
(t 1)
(t 1)
1
2
f (x) (
,2t,2), (t)
2t 1
2 t
1
f (0) ( ,0,2), g(0) (2,0,2), (0) 2
2
( f .g)(0) f (0).g(0) f (0).g(0)
61
:ادامه حل
i j k i j k
1
( f g)(0)
0 2 1 1 0
2
0 1 0 2 0 2
1
3
(2,0, ) ( 2, 2,2) (0, 2, )
2
2
(f )(0) (0) f (0) (0) f (0) 2(1, 1,0) (2, 1,0)
62
قضيه(:قاعده زنجيره اي)
n 2or3
f [a,b] I
n
g
]t [a,b
f
[a, b] I R
gof
• توابع فوق را با Iكه بازه اي در Rاست در نظر
وg
بگيريد .فرض كنيد fدر نقطه t
در) s=f(tمشتق پذير است .در اين صورت
تابع برداري gofدر نقطه tمشتق پذير است و
داريم
d(gof) dg ds dg df
.
)(gof)(t) g( f (t)) f (t
dt
ds dt ds dt
63
بيابيدt=1مشتق تابع زير را در نقطه:مثال
4
h(t) (cos(2 lnt),2 lnt, (2 lnt) )
حل:
3
h(t) ( t sin(2 lnt), t ,4 t (2 lnt) )
h(1) ( sin2,1,32)
1
1
1
64
تعريف خم هموار:
f :[a,b] Rn n 2or3
• تابع فوق را روي دامنه اش هموار گويند اگر
)(t
]t [a،,b
وجود fداشته و
به ازاي هر
f (t) 0: t
پيوسته باشد و
• بنابر اين خم fهميشه روي( )a,bهموار
t
است اگر وتنها اگر در هر نقطه ][a,b
مشتق
يكي از مؤلفه هاي آن غير صفر باشد.
65
مثال :آيا خم زير در بازه[1و ]-1هموار است.
2
) f (t) ( t , ln(1 t),1 t
حل :تابع فوق روي بازه داده شده هموار
نيست زيرا در در نقطه صفر مؤلفه اول آن
مشتق پذير نيست
66
تعريف خم پاره هموار:
n 2or3
n
f :[a,b] R
• خم فوق را پاره هموار نامند اگر در تعداد
متناهي نقطه از دامنه هموار نباشد.
• به عبارت ديگر خم fپاره هموار است اگر نقطه هاي
]tn [a,b
وجود tداشته باشند بطوري كه f
1, t2,....,
در اين نقطه ها يا مشتق نداشته باشد يا در شرط
كند)(t
صدق0
ولي fدر بقيه نقاط [ ]a,bدرشرط
كندf (t).
صدق 0
67
خم ) f (t) (t ,t ,t
مثال:
هموار نيست ،زيراf (0) 0 :
• تعريف طول خم:فرض كنيد:
4
2
2
در نقطهt=0
:
n
f :[a,b] R n 2or3
خمي
هموار باشد ،طول اين خم را با sنشان
ميدهند و با رابطه زير تعريف مكنند:
b
s f (t) dt
a
68
تعميم تعريف طول خم:اگر fدر نقاط زير
]t1,t2,....,tn [a,b
پاره هموار باشد
و a t1 t2 ...tn b
طول fرا با رابطه زير
تعريف ميكنند:
b
t1
t2
s f (t) dt f (t) dt... f (t) dt
a
t
tn
اين فرمول بصورت زير در
با قراردادن
a t0,b tn1
ميآيد:
1
ti1
69
n
s f (t) dt
ti
i 0
مثال:اگر خم ذيل در بازه داده شده هموار
است طول خم را پيدا كنيد.
3 2
]f (t) (t ,t ),t [1,3
حل:
هموار است
3
f (t) (3t2,2t) 0
f (t) 9t 4t t 9t 4 s t 9t2 4
2
2
4
1
3
3
3
1
2
) (85 13 2
27
1
70
2 1 2 32
) . (9t 4
3 18
توابع چند متغیری
خسرو حجتي
تعریف توابع اسکالر:
F : A B
AR2
BR
72
خسرو حجتي
مثال تابع دومتغیره اسکالر:
x,yR2
F x, yx y z
F 1,01 0 23
اعمال جبری مانند توابع حقیقی است
73
خسرو حجتي
:تعریف توابع برداری
F : A B
ARn
BRm
بنابراین تابع اسکالر حالت خاص تابع برداری است
74
خسرو حجتي
: مثالی از تابع برداری
f :t cost,sint
t R
t=
0
f(0) = (1,0)
یا
f x, y,zx y,z
75
خسرو حجتي
تعریف :درتابع برداری زیر
X A Rn
f :X f1X,...,fmX ,
i=1,2,3,…,m
fi : A R
توابع اسکالر fiرا توابع مولفه ای ویا مولفه
های تابع برداری fمی ناميم .
76
خسرو حجتي
مثال:
f x,y,z x y z,xy yy yx xyz
f1: x, y, y x y z
f2: x, y, y xy yz zx
f3: x, y, y xyz
77
خسرو حجتي
تعريف :در تابع بردارى
f : X f 1x,...,fmxXARn
با انتخاب متغیرهای وابسته um,…, u1
معادالت) um= f m(x),…, u1=f 1(xرا
معادالت تابع برداری fمى ناميم .
78
اعمال جبری مانند بردارهاست
خسرو حجتي
تعریف :در تابع چند متغیره
f : X f1X,...,fmX
,
X ~ (x1, x2 ,…, x
A Rn
m
)n
}f (B) {y R | f (X ) y, X B
اگر ) B A 1
را تصویر مجموعه Bتحتمی نامند .
f )2
می نامند :
زیررا
مجموعه
نمودار تابع f
{Z | Z ~(X , f (X ))(x1,...,xn, f 1(x),...,fm(x)}GRF
79
خسرو حجتي
)3نقطه )y0 f(Aرا در نظر می گیریم ،مجموعه
}E {X A| f (X ) y0را مجموعه ترازتابع f
به ازاء y0نامند .كه اگر تابع fاسکالر دو متغیره باشد
مجموعه های تراز را
منحنی های تراز
این تابع و اگرf
اسکالرسه متغیره باشد مجموعه های ترازرا
تراز
سطوح
نامند .
80
خسرو حجتي
f : t (2t 1, t) t R
1 مثال:
1
f ] تصوير0 , 1/2-[ تحتA f ,0
2
فاصله:
x, y| x 2t 1, y
t,t
1,0
2
x 1
1
A f ,0 x, y| y , x 0,1
2 2
2
81
خسرو حجتي
GRFx, y,z|x, y,z t, f t,t R
x, y,z|x, y,z t,2t 1, t,t R
x, y,z| x t, y 2t 1,z t,t R
) 0و1و0( که معادالت پارامتری خطی است که از نقطه
. موازی استu ~(1,2,-1) می گذرد و با بردار
82
خسرو حجتي
:مثال2
تابع بردارى سه متغيره زير و نقطه
(1,2)R2را در
نظر می گیریم ،مجموعه تراز تابع fبه ازاء نقطه (2و)1
را بدست آورید .
2
2
y
z
f : x,y,z x ,z
2
4 9 4
83
خسرو حجتي
Ax, y,z| f x, y,z 1,2
2
2
2
x y
x, y,z|
4 9
2
2
y
x
x, y,z|
4 9
خسرو حجتي
2
2
z,z (1,2)
4
2
z 1,z2
4
x y
A 1
8 18
بيضى واقع در
Z = صفحه
2
84
تعریف همسایگی :
شعاع r :
a r
مركز a :
2
Na,r x R | x
2
a
R
باشد همسایگی را قرص به مرکز aگویند .
)1اگر
)2و اگر
3
a
R
باشد همسایگی را یک گوی گویند .
n
R
تعبیر هندسی ندارد .
)3همسایگی در
85
خسرو حجتي
:تعريف فاصله
فاصله نقطه xاز aعبارت است از :
2
x a x1 a1 ... xn an2
86
خسرو حجتي
: مثال
:عبارت است ازN((0,0),2) قرص
2
N0,0,2 x, y R |
2
x 0 y 0 2
2
2
2
2
x, y R | x y
4
87
خسرو حجتي
مثال :
نشان می دهیم که درهرهمسایگی میتوان
:یک همسایگی کوچکتر محاط کرد .یعنی
x Nx0,r : 0 Nx, Nx0,r
x Nx0,r x x0 r
0 r x x0 rفرض
فرض :حل
حال برای اثبات yدلخواه را در نظر می گیریم:
88
y Nx0,r y x
خسرو حجتي
براساس نامساوىمثلث
y x0 y x x x0
y x x x0 x x0 r
y Nx0,r
Nx, Nx0,r
89
خسرو حجتي
:تعريف مجموعه باز
فرض کنیم URnآنگاه Uرا یک مجموعه باز
در Rnمی نامیم هرگاه :
x U : r 0: Nx,r U
90
خسرو حجتي
: مثال
یک زیرمجموعه باز ازA x,y Rx 0
زیرا: استR2
x,y A r 0 : Nx,y,r A ?
فرض
x,y A X 0
فرض
r=x
?
: برای اثبات داریمx1,y1 Nx,y,r
x1 0
91
خسرو حجتي
x1 x x1 x
x1
x y y rx
2
2
1
....
x x1 x x
0 x1 2x
وحکم ثابت است.
92
خسرو حجتي
:تعریف مجموعه بسته
n
F Rرا بسته گوئیم هرگاه ( Fمتمم
C
در
R
n
(F
باز باشد .
خسرو حجتي
RC
V x,y x
0,y در
0
بسته
زیرا. است
c
V x, y | x 0, y 0
خسرو حجتي
:تعریف مجموعه کراندار
2
S
R
را کراندار گویند اگر
S
زیرمجموعه ای از یک
:قرص باشد .بعبارت دیگر
M 0 : S DM0,0
3
S Rرا کراندار گویند اگر Sزیرمجموعه ای از یک
اگر S:کراندار است
گوی باشد .بعبارت دیگر :
M 0 : S DM0,0,0
اگر S :کراندار است
خسرو حجتي
.در غیراینصورت Sرا بی کران گویند
یعنی خارج هر قرص به مرکز مبدأ نقطه ای
.از Sواقع است
خسرو حجتي
:مثال
| x 1 y 1 5
2
2
x, y
کراندار
است
زیرا مجموعه همه نقاط داخل دایره به شعاع5
و مرکز( 1و )1است .بنابراین کافی است قرصی
انتخاب شود که همه دایره را در برگیرد .یعنی
M 5 2باشد
.کافی است
خسرو حجتي
:تعریف مجموعه همبند
n
C
R
()n=2,3
را همبند گویند هر
گاه بتوان
هر دونقطه x ,yاز آن را توسط یک خط
شکسته
واقع در آن بهم وصل کرد .
خسرو حجتي
تعریف همسایگی محذوف یا بدون مرکز:
aRn , Na,r
مفروض
Na,rNa,r a
n
x R | 0 x a r
خسرو حجتي
: زیرا. باز استR3 درN1,0,1,2 : مثال
فرض
X0 N1,0,1,2
0 : NX0, N1,0,1,2
فرض: اگر 2 1,0,1 X
0
2
2
1 x y 2 1 z
0
0 2
خسرو حجتي
0
0
2
X Nx0, : برای اثبات در نظر می گیریم
بنابر نا مساوی مثلث
X 1,0,1 X X0 X0 1,0,1
X X0 X0 1,0,1 X0 1,0,1 2
X N1,0,1,2
NX0, N1,0,1,2 باز است
خسرو حجتي
تعریف حد :
n
در نظر می گیریم
n
, A R , x0 R
m
F : A B ,B R
تابع
فرض کنید Aشامل یک همسایگی محذوف نقطه x0
است .
m
L R
استاگر :0
دارایNحد 0 : x
x , x
نقطه(: f
درx)
گوئیمNFL
,
0
0
در این صورت می
:نویسیم
lim fx L
x x0
خسرو حجتي
0 0:
و یا:
0 x x0 fx L
خسرو حجتي
: مثال
2
F x,y x0 : x,y Rنشان می دهیم حد تابع
2
2
x x y y
استx0 برابرX0 ~ x0,y0 در نقطه.
Fx,y x0 x x0
0
x, y x0, y0 X X0
X X0 FX X0
خسرو حجتي
0
limFx,y y0
x,y x0,y0
و بطور کلی همان فرمول حد برای تابع n
متغیره صحیح است .
limFX FX0
X X0
خسرو حجتي
مثال:
نشان می دهیم که تابع زیردرنقطهX0 ~0,0
.ندارد
2
x, y R 0,0
:فرض خلف
حد
2
2:
x
2
x y
F x, y
limF X L
X X0
خسرو حجتي
بنابراین برای 0
باید عددی مانند 0وجود
:داشته باشد بطوریکه
0 X X0 FX L 0
2
x
0 X 2 2 L 0
x y
خسرو حجتي
حاال نقطه 0, را در نظر می گیریم چون
2
F 0, 0
0, ,
2
2
2
1
L 0
داریم
1 L 0
داریم
حال اگر نقطه ,0را در نظر بگیریم چون
2
F ,0 1, ,0
2
2
2
خسرو حجتي
1 L 1 L L 1 L
0 0 2 0
:حال اگر 1
0
2
1 1
که تناقض است بنابراین تابع حد ندارد
.
خسرو حجتي
.حد در صورت وجود منحصر به فرد است
کلیه فرمولهای حد توابع حقیقی در مورد توابع
چند
.متغیره نیز صادق است
بنابراین اگر هر مولفه حد داشته باشد تابع حد دارد
.
خسرو حجتي
مثال:
F: x,y,z x2y2,xy, 2 21 2
x y z 1
X01,0,2
limf x,y,z 1,0,1
6
x,y,z x0
خسرو حجتي
پیوستگی مثل توابع حقیقی ،اگر حد با مقدارتابع
برابرباشد پیوسته است و بطور کلی وقتی همه مولفه
.هاپیوسته باشند تابع پیوسته است
خسرو حجتي
نكاتي درمورد پيوستگي
تعريف :هر گاه fيك تابع دو متغيره
) (x , y
را چنين
بوده ونمو fدر نقطه
نمايش دهيم:
0
0
f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) f (x0, y0 )
D1 f (x0, y0 )x D2 f (x0, y0 )y 1x 2y
بطوريكه:
2 2x
1 1x ,
خسرو حجتي
تعريف مشتقپذيري
:اگر در تعريف قبل داشته باشيم
(x, y) (0,0) 1 0, 2 0
در اينصورت fدر ) (x0, y0
مشتقپذير
است.
خسرو حجتي
قضيه :هر گاه تابع دو متغيره fدر نقطه اي
مشتقپذير باشد در آن نقطه پيوسته است.
قضيه :اگر مشتقات جزئي تابع دو
متغيره بر قرص باز
موجود و در نقطه aپيوسته باشد
آنگاه fدر آن نقطه مشتقپذير است.
خسرو حجتي
2
f (x, y) 3x xy
2
D1 3 y
,
D2 2xy
مثال:
f (x0, y0 ) f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
2
0
3x y x 2x0 y0y 2y0xy
2
2
x0 (y) x(y)
:با استفاده از تعريف محاسبه ميكنيم
f (x0, y0 ) D1 f (x0, y0 )x D2 f (x0, y0 )y
1x 2 y
خسرو حجتي
1
پس از خالصه كردن1 طرف چپ:
2
2
x0 (y) 2y0xy x(y)
كه بايد به يكي از چهار طريق زير
يعني. باشد1 معادل طرف راست:
2
[ 2y0y (y) ]x ( x0y)y
( 2y0y)x ( xy x0y)y
2
( (y) ]x ( y0x x0y)y
0x [ 2y0x xy x0y]y
خسرو حجتي
1, 2
وجود دارند كافي
چون توابع
است در يك مورد نشان داده شود كه
(x, y) (0,0) 1 0, 2 0
بنابراين
2 x0y
2 0
,
lim
x y
)( , ) (0,0
2
) 1 2y0y (y
1 0 ,
lim
x y
)( , ) (0,0
خسرو حجتي
در نتيجه تابع مشتقپذير بوده
نقطه(x
,
y
)
0
و در 0
پيوسته است
مثال:در مورد پيوستگي تابع زير
2 2
xy
كنيد
:تحقيق
f (x, y)
2
4
x y
6
2xy
2
D1 f 2 4 2 x my
) (x y
6
2xy
4m
2
lim
2
4 2
2
)(m 1
) y 0 (x y
.بنابر اين حد ندارد و در نتيجه پيوسته نيست
خسرو حجتي
تمرين :نشان دهيد تابع زير پيوسته است
sinhxyz
x2 y2 1
2
2
2
f (x, y, z) cosh(x y z ) e
پيوسته
پيوسته
پيوسته
چون توابع هيپربوليك و نمائي پيوسته و
تركيب توابع پيوسته ،پيوسته است
بنابراين تابع fپيوسته است
خسرو حجتي
:تعریف مشتق جزئی
n
A
R
اگر تابع اسکالر : F:A B
روی یک همسایگی نقطه
xn A
xx1,...,تعریف شده باشد در اینصورت رابطه زیر را در
صورت وجود مشتق جزئیF
F X
xi
Fx X
i
درنقطهX
نسبت به متغیر iام نامند و با
DiF X
نشان
دهندF x. 1
می, x2
,...,
F x1,...xhیا 1,...,xhیاxi 1, xi h, xi
lim
h
n 0
خسرو حجتي
مثال:
F: x,y x2y y3
F
F
x
h, y F x, y
X lim
x
h
h 0
2
xh
lim
h 0
y y3
h
f x,y x2 3y2
y
خسرو حجتي
2
3
x y y
2xy
مشتقات جزئی مراتب باال تر
:مثال f X y 2xy3
x
xy x2y3
2 f X 2y3
x2
2 f 16xy
xy
F x,y
f X x 3x2y2
y
2 f 16xy
yx
تساوی وقتی برقرار است که پیوسته باشد .
اگر مشتقات جزئی موجود وپیوسته باشند تا هر مرتبه ای گویند تابع از
رده
n ( Cnهمان مرتبه ) است .
خسرو حجتي
مثال:
2
2
2
f :x, y x xy,x y y
2
x, y R
f x, y 2x y,2xy
x
f x, y x, x2 2y
y
خسرو حجتي
مشتقات جزئي تابع زير را پيدا:تمرين
كنيد:
sin
f ( , )
, p (1, )
1
3
2
2
f cos (1 2 2 ) 2 sin
2
2 2
(1 )
2
cos (2 ) 2sin
f ( p) 3
3
9
3
2
2
(2 )
9
خسرو حجتي
2
2
f cos (1 ) 2 sin
2
2 2
(1 )
2
cos (2 ) 2 sin
f ( p)
3
9
3
3
2
2
(2 )
9
127
خسرو حجتي
داراي مشتقات جزئيf اگر تابع:تمرين
v=x-پيوسته باشدو
:كنيد
w wثابتfy,u=x+y,w=f(u,v)
f 2
2
.
( ) ( )
x y
خسرو حجتي
u
v
حل:
w f f u f v f f
. , . ( , )
x x u x v x u v
w f f
( ,
)
y
u v
w w f 2 f 2
.
( ) .( )
x y u v
خسرو حجتي
تمرين:مشتق جزئي تابع داده شده را در
كنيد
پيدا
شده
داده
نقطه
xy
) , p(1, , 1
2
z
cosy
w
z
w y
z
cosy
x z
1
w
2
( p) 2 cos
x
خسرو حجتي
w x
z
z
z
cosy xy siny
y z
1
1
1
w
2
2
2
( p) 2cos sin
y
z1
w
xy
xy Lny
z
z
2 cosy
siny
z
z
z
3
1
1
w
( p) 4 cos 2 2 2 sin 2
z
خسرو حجتي
:تعریف مشتق جهت دار
با فرضV :بردارواحد f : A R ,x0 A ,
f x hv f x
lim
DV f x
h
h 0
0
0
0
در صورت وجود مشتق جهت دار fدر نقطه x0و
در جهت Vاست .
خسرو حجتي
f : x, y 2xy 3x 5y مثال:
2
2
x0 1,2 در نقطه
1 1
V , و در جهت بردار واحد
2 2
داریم:
x0 hv1,2
1
خسرو حجتي
h ,2 h
2
2
h , h
2 2
f x0 hv f
h
h
x 2 1 2
0
2
2
2
h
h
3 1
5 2
15
2
2
3
h
9 2 11
h
h
2 2
2
خسرو حجتي
2
D f 1,2
V
3
h 9h2 11h
11
2
2
2
lim
h
2
خسرو حجتي
:تعریف مماس و قائم
صفحه
برمنحنی های واقع بر Sومار برP
اگر
مماس باشد .بعبارت
در نقطه
دیگر صفحه
در نقطه
Pبر رویه Sمماس است
Pبر رویه Sمماس است اگر شامل تمام
خطوطی باشد که در نقطه P
واقع برS
به منحنى هاى
و مار بر Pمماس باشد .
خسرو حجتي
خطی که از Pگذشته و بر صفحه مماس بر Sدر P
عمودباشد ،خط عمود بر Sدرنقطه Pنامیده می شود .
خسرو حجتي
فرمول امتداد قائم بر صفحه مماس بر رویهSR3
:
درP x0
,y0,z0
نقطه
N f1x0, y0i f2x0, y0 j k
خسرو حجتي
معادله صفحه مماس بر رویه Sدر نقطه P :
f1x0, y0x x0 f2x0, y0 y y0
z z0 0
خسرو حجتي
خسرو حجتي
معادله خط قائم بر رویه Sدر نقطه P :
x x0 y y0 z z0
f1x0, y0 f2x0, y0 1
خسرو حجتي
ZCOSx
P1,0,0
2
z sinx
x 2 2 2
معادله صفحه مماس
معادله خط قائم
خسرو حجتي
مثال:
z0
y
x 1 0 y z 0
2
x 1z
1
2
:شرط وجود صفحه مماس
اگر تابع z f x, yروی مستطیل باز زیر پیوسته باشد
Rx, y| x x0 h , y y0 k
ومشتقات جزئی آن روی Rوجود داشته ودرنقطه
x0,y0
پیوسته باشد(،شرایط قضیه نمو)آنگاه تابع خطی Lکه نمودار آن
x
,
y
,
f
x
,
y
0
0
0
0
است وجود
صفحه مماس بررویه Zدرنقطه
دارد .که نمودار آن صفحه مماس رویه است .
L x, y f x0, y0 f1 x0, y0 x x0 f2 x0, y0 y y0
خسرو حجتي
قاعده زنجیره ای:
g:R2
بوده و
R
, xx t
, yyt
)x0,y0( دارای مشتقات جزئی روی همسایگی از نقطهg اگر
در این
Gمشتقپذیر
t g x tt=t
,y t در نقطهyو
آنگاه با
0
x t ,y t x ,y
xتوابع0باشند و0پیوسته0نقطه0
t0
تابع مرکب
خسرو حجتي
فرض
dg |
dt tt
0
gxt0 yt0 ,xt0 gxt0 yt0 ,yt0
g1 x0,y0 x t0 g2 x0,y0 y t0
g1x g2y
خسرو حجتي
مثال:
T Lnxyzt , xsinu , ycosu , zeu , te u
dTTx Ty T.z T.t
du x u y u z u t u
1sinu 1eu 1e u y x1
1
cos
u
1
z t
x
y
x y
2 x2
y
2u 2cot
xy 1cos
2u
sin2u
2
خسرو حجتي
مشتق گیری ضمنی:
F x,y,z 0
F
x
,
y
,
z
1
z
x F3 x,y,z
F30
خسرو حجتي
,
z F2
y F3
فرمول تقریب:
بحد کافی کوچکy وx بشرط
f x0x,y0y
f x0,y0 f1 x0,y0x f2 x0,y0y
خسرو حجتي
را درxy yz zx0 معادله صفحه مماس بر
: مثال
پیدا کنید2,2,1 نقطه.
z x z 3
y y x 4
z y z 3
x y x 4
z z0z x x0 z y y0
x
y
z 1 3 x 2 3 y 2
4
4
خسرو حجتي
تعريف گرادیان :
فرض کنیم تابع اسکالر nمتغیره Fروی مجموعه
n
A Rدارای تمام مشتقات جزئی مرتبه اول
باشد در اینصورت :
f gradf:
f
f
X , X ,, X
x2
xn
f
x
1
x:
, X A
خسرو حجتي
2
f : x, y,z 2x y yz
f
2
4xy,2x z, y
f 1,1,24,4,1
خسرو حجتي
مثال:
قاعده زنجیره ای :
(برداری و اسکالر)
g: B R , f : A B
m
n
A R ,B R
g,fروی قلمروشان دارای مشتقات جزئی پیوسته
اند .
در اینصورت داریم :
gofX g f X . f X
xi
xi
خسرو حجتي
f : x, y x y, xy
2
مثال:
2
g:x, y x y
gx, y 2x,2y
g f x, y2x y,2xy
خسرو حجتي
f
x, y 1,2
x
2
gof
x, y 2x y 2x y
x
حل مثال فوق از روش معمولی:
gofx, y g f x, ygx y, xy
2
2 2
x y x y
gofx, y 2x y 2xy2
x
. که همان است
خسرو حجتي
:قضیه
:رابطه بین مشتق جهت دار و گرادیان
Dv f X0 V.f X0
خسرو حجتي
:مثال
درنقطه X
روبرورا~3,
مشتق جهت دارتابع1, 2
2 3 6
:و در جهت بردار V 7,7,7بدست آورید
0
2
f : x, y,z 2x y yz
f 12,16, 1
2 3 6
, , .
7 7 7
18
12,16, 117
Dv f
خسرو حجتي
تمرين:مشتق سوئي تابع داده شده را در
:نقطه وسوي تعيين شده پيدا كنيد
y
f (x, y) x tan
, x (1,1) , A 2i j
x
y
2
1
1 y
x
f (tan x
,
)
2
2
x
y
y
1 1
x
x
1 1
) f (1,1) ( ,
1
4 2 2
خسرو حجتي
1
u (2, 1)
5
Du f (1,1) f (1,1).u
1 1 1
( , ).( (2, 1))
4 2 2
5
1
1
( 1 1) ( 2)
5 2
5 2
خسرو حجتي
تمرين:مشتق سوئي تابع داده شده را
در نقطه وسوي تعيين شده پيدا
:كنيد
x y
f (x, y)
, p(6,6) , v 3i 4 j
y x
:حل
1 y
x 1
f 2 , 2
y x
y x
1
)f ( p) (0,0) , u (3i 4 j
5
Du f ( p) 0
خسرو حجتي
تمرين :معادله صفحه مماس و خط قائم
بر رويه داده شده را در نقطه داده شده
:پيدا كنيد
2
)p (0, 2,3
2
2
2
x z xy yz 8 ,
2
2
) (2xz y , 2xy z , x 2yz
)( p) ( 4, 9,12
4(x 0) 9( y 2) 12(z 3) 0
z 3
12
y 2
9
x
4
خسرو حجتي
يادآوری بسط تیلور توابع یک متغیره :
اگر مشتقات مراتب مختلف تابع یک متغیره حقیقی f
در همسایگی ( ) a-h , a+hموجود باشند
x a h
آنگاه,a
h
برای
وداریم :
خسرو حجتي
x a
f x f a
f a ...
!1
n
f
x a
n
!n
n 1
a
بین aو xوجود دارد که
باقیمانده مرتبه nام fدر نقطه : a
:خواهیم داشت
n 1
x a
f
!n 1
n
n
x
a
f
!n
در فرمول فوق اگر باقیمانده نوشته نشود آن را چند جمله ای تیلور گویند
خسرو حجتي
:قضیه
فرض کنیم fدرهمسایگی Nاز نقطه ()a,b
دارای مشتقات جزئی مرتبه سوم پیوسته باشد .
دراینصورت :
خط واصل
2
f : A R R
x, y N: ,nx, y, a,b
خسرو حجتي
f
f x, y f a,b x a a,b
x
f
y b a,b R1x, y,a,b, ,n
y
استR (باباقیماندهa,b) حول نقطهf بسط تیلورمرتبه اول تابع.
خسرو حجتي
: f x, y
f a,b x a f a,b y b f a,b
x
y
2
2
1
f
f
2
a,b 2x a y b
a,b
[x a
2
2
xy
x
2
f
2
y b
] R2 ( x, y, a,b, , )
2
y
استR( با باقیماندهa,b) حول نقطهf که بسط تیلور مرتبه دوم تابع.
خسرو حجتي
مثال:
2 xy y2
f
x
,
y
2
x
را در
بسط تیلور مرتبه دوم تابع
f 4x y0
x
2 f 4
x2
. ) محاسبه کنید0,0(=)a,b( نقطه
,f x 2y0
y
2f
,
1
xy
2f
, 2 2
y
2
2
1
f x, y0 0 0 x 4 2xy 1 y 2 R2
2
خسرو حجتي
تمرين :بسط تيلور مرتبه دوم تابع زير را
در نقطه داده شده پيدا كنيد
2
2
f (x, y) 2x xy 3y 3x 7y
:حل
)(a,b) (2,5
f
f
4x y 3
(2,5) 0
x
x
f
f
x 6y 7
(2,5) 25
y
y
خسرو حجتي
2
2
2
f
f
f
4 ,
6 ,
1
2
2
x
y
xy
f 2,5 76
f (x, y) 76 0(x 2) 25( y 5)
1
2
2
4(x 2) 2(x 2)(y 5) 6( y 5)
2
خسرو حجتي
تمرين :بسط تيلور مرتبه دوم تابع
زير را در نقطه داده شده پيدا كنيد
2
2
f (x, y) x xy 2y 3x 2y
)(a,b) (2, 1
f
f
2x y 3
(2, 1) 0
x
x
خسرو حجتي
f
f
x 4y 2
(2, 1) 0
y
y
2
2
2
f
f
f
2 ,
4 ,
1
2
2
x
y
xy
f (2, 1) 4
2
1 2(x 2)
f (x, y) 4
2
2 2(x 2)(y 1) 4( y 1)
خسرو حجتي
:تعریف مینیمم و ماکسیمم
f :A B
: A Rn
هرگاهN x0,r
x0 A)1را یک نقطه مینیمم نسبی fمی نامیم A
x N x0,r f x0 f x
بطوریکه :
در این صورت ) f(x0یک مینیمم نسبی fاست .
N x0,r A
x0 A
رایک نقطه ماکزیمم نسبی fمی نامیم هرگاه
)1
بطوریکه
x N x0,r f x f x0
در اینصورت ) f(x0را یک ماکزیمم نسبی fگویند .
خسرو حجتي
x0 A)3
را یک نقطه ماکزیمم مطلق fنامند هرگاهx A
f x f x0
در اینصورت ) f(x0را ماکزیمم مطلق fنامند .
x0 A)3
را یک نقطه مینیمم مطلق fنامند هرگاهx A
f x0 f x
در اینصورت ) f(x0را مینیمم مطلق fنامند .
خسرو حجتي
:مثال
:تابعx2 y2
f x,y 2
را در نظر می گیریم
f 0,0 2 2 x2 y2 f x,y
( )0,0نقطه ماکزیمم مطلق است .
x,yR2
) F(0,0ماکزیمم مطلق و نسبی است .
خسرو حجتي
:مثال
2
:تابع x,y x y1
fرا در نظر می گیریم
: f x,y 0
چون مقدار تابع در هر نقطه خط y10
x,yR2
xبرابر صفر است نقاط
روی خط فوق مینیمم مطلق fاست .
خسرو حجتي
قضیه:
, A Rn
f :A R
یکx N مشتق پذیر باشد وN x ,r رویf اگر
0
0
نقطه
f x 0,...,0
f x0 f آنگاه
x0 ,...,
0 ماکزیمم یا مینیمم
.
باشد
f
نسبی
x1
xn
f x ...f x 0
0
0
x1
xn
خسرو حجتي
بعبارت دیگر:
:تعریف نقطه بحرانی
x domfرا یک نقطه بحرانی fگویند اگر در یکی از
0
دو شرط زیر صدق کند :
الف) fدر نقطه x0مشتق پذیر نباشد (.الاقل یکی از
مشتقات جزئی موجود نباشد ).
ب) fدر x0مشتقپذیر و
f x 0
0
f x 0
x1 0
f x 0
xn 0
خسرو حجتي
در نتیجه نقاط ماکزیمم و مینیمم یکی از نقاط بحرانی
است یعنی جواب دستگاه زیر یک نقطه بحرانی یا
.ماکزیمم و مینیمم است
f x 0
x1 0
f x 0
xn 0
در صورتیکه نقاط بحرانی ،ماکزیمم یا مینیمم نباشد آنرا
.نقطه زین اسبی گویند
خسرو حجتي
:مثال
نقاط بحرانی تابع زیر کدامند ؟
f x,y x2 xy 2y2 3x 2y
:پاسخ
نقاط بحرانی -1 ( :و)2
f 2x y 30
x
y 1,x2
f x 4y 20
y
خسرو حجتي
قضیه ( :آزمون مشتق دوم )
f :A R , A Rn
مفروض ,N(x 0 )x0 A :همسایگی
فرض می کنیم fروی ) N(x 0از رده C2و x 0یک نقطه
بحرانی fباشد در اینصورت :
2f
B
x0
xy
,
A B
D
AC B2
B C
,
2f
A 2 x0
x
2f
C 2 x0
y
خسرو حجتي
:آنگاه
الف :اگر D<0نقطه x0نقطه زین اسبی است .
ب :اگر D>0و A>0نقطه x0مینیمم نسبی است .
ج :اگر D>0و A<0نقطه x0ماکزیمم نسبی است .
د :اگر D=0نمی توان اظهار نظر کرد .
خسرو حجتي
مثال:
نوع نقاط بحرانی تابع زیر را تعیین کنید.
f x,y x3 y2 3xy15
پاسخ:
f 3x2 3y0
x
x0 y0
f 3y2 3x0 x1 y1
y
2
2
2f
f
f
A 2 6x B
3 C 2 6y
x
xy
y
خسرو حجتي
: ادامه جواب
0,0:A0
خسرو حجتي
C0
0
3
D
90
3 0
1,1:A60
B 3
B 3
زین اسبی
C6
DAC B236 90
مینیمم
نسبی
:محاسبه ماکزیمم ومینیمم تحت شرایط خاص
برای پیدا کردن نقطه ماکزیمم و مینیمم تابع fنسبت به
شرط g(x,y,z)=0باید دستگاه
f g
y y
f y
x x
f g
z z
g x, y,z 0
را نسبت به xو yو zو حل نمود وجواب نقطه ()x,y,z
.است
خسرو حجتي
:مثال
.ماکزیمم و مینیمم فاصله مبدا را تا منحنی زیر پیدا کنید
5x2 6xy 5y2 80
:پاسخ
2
2
فرمول فاصله ( f dx y :زیرا نقاط واقع بر این دایره
بیشترین فاصله را دارند )
2x 10x 6y
4 y2 x2 0 yx
2y 6x10y
5x2 6xy 5y2 80
خسرو حجتي
2x21
2, 2 , 2, 2 f 1 مینیمم
2 2
2 2
نقاط ماکزیمم ومینیمم
x22
خسرو حجتي
2, 2
, 2, 2
f 4
ماکزیمم
تمرين :نشان دهيد كه ماكزيمم تابع
f(x,y,z)=x+y+zروي كره
زير عبارت است از
a 3
2
2
2
2
x y z a
:حل
2
2
2
2
g : x y z a
خسرو حجتي
f (1,1,1) , g (2x,2y,2z)
1
x
2
12x
1
y
1
2
y
2
1
1
2
z
z
2
x2 y2 z2 a2
1 2
1 2
1 2
2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) a
1 2
3
a
2
3( ) a x y z
2
2a
3
خسرو حجتي
a a a
f
,
, a 3
3 3 3
خسرو حجتي
:انتگرال دوبل
خسرو حجتي
انتگرال در ناحیه Rکه توسط منحنی Cمحدود
شده:
f
x
,
y
dx
dy
R
خسرو حجتي
برای محاسبه ناحیه را به مستطیل های کوچک تقسیم
میکنیم ومشابه عملیات انتگرال معمولی مجموع
مساحات و حد آنها را حساب می نمائیم که به این
ترتیب اگر ناحیه fبه مستطیلی فرض شود که توسط
خطوط y=dو y=cو x=bو x=aمحدود
شده خواهیم داشت :
خسرو حجتي
d
: حالت خاص
y
c
o
s
a
b
x
f
x
,
y
dA
f
x
,
y
dxdy
R
R
f x,ydxdy f x,ydydx
d b
b d
c d
a c
اول محاسبه می شود
بعد
خسرو حجتي
اول محاسبه می شود
بعد
در حالت کلی Rمستطیل نبوده و ناحیه ای باشد که با منحنی Cمحدود
شده باشد .
فرض کنید که B1و B2به ترتیب مینیمم و ماکزیمم منحنی را تشکیل داده
و A1و A2کمترین وبیشترین مقادیر Cروی محور افقی را تعیین می
کنند .
x2 y
x1 y
خسرو حجتي
x1 yرا معادله
B1A1B2
معادله منحنی B1A2B2
aو
را
بگیرید .در اینصورت به جای
y
y
1
2
و
bمقادیر
و
x2 y
و بجای cو
dمقادیر B1و B2قرار می گیرند .در نتیجه خواهیم
داشت :
خسرو حجتي
f
x
,
y
dA
f
x
,
y
dxdy
R
B
2
2y
B 1 y
1
و بهمین ترتیب می توان نوشت:
f
x
,
y
dA
f
x
,
y
dydx
R
خسرو حجتي
a
f x
a
f x
2
1
2
1
:مثال
مقدار I1R ydAرا روی ناحیه محدود شده Rکه ربع
2
y
x 1
a b2است را محاسبه کنید .
بیضی ای به معادله
2
2
:پاسخ
ydxdy
I
b a b2 y2
b
0 0
a b2 y2
dy
xy
b
0
1
b
0
خسرو حجتي
a y b2 y2dy
b
3 b
a b2 y22
3b
0
2
ab
که با توجه به مطالب ریاضی 1همان مختص
b
0
yمرکز ثقل ربع بیضی است و بهمین
3
ترتیب
a2b xdA
ثقل است .
3
که مختص xمرکز
خسرو حجتي
چند مورد کاربردی
خسرو حجتي
:ممان اینرسی 1-
ممان اینرسی یک ذره حول یک محور مساویست با
.حاصلضرب جرم آن در مربع فاصله آن از محور
برای محاسبه ممان اینرسی یک ناحیه مسطح حول
.محوری عمود بر آن از انتگرال دوبل استفاده می کنیم
خسرو حجتي
:مثال
ممان اینرسی سطحی را که در ربع اول دستگاه مختصات قرار گرفته و
توسط منحنی y2 =1-xمحدود شده حول محوری عمود بر سطح xy
( )1,0را پیدا می نمائیم .
در
:حل فاصله هر نقطه دلخواه ) p(x,yاز نقطه ( )1,0برابر است با
:
2
f x,y r x 1 y2
خسرو حجتي
1 1 y2
M0 0
0
1
3
y6
x 1 y2dxdy
3
x 1
2
ادامه جواب:
1 y2
xy2
dy
0
0
y2 y4 1dy
3
3
1
1
44
1.1y7 1y3 1y5 1y 105
37 3 5 3 0
خسرو حجتي
:محاسبه حجم 2-
اگر ) z=f(x,yمعادله یک سطح (رویه) باشد که توسط منحنی
Cبوجود آمده آنگاه حجم حادث از آن رویه و دو ناحیه محدود
شده بوسیله دو مقطع آن رویه توسط منحنی Cبوسیله انتگرال
دوبل محاسبه می شود .
V R f x,ydA
خسرو حجتي
تذکر ( :هرگاه f(x,y)=1باشد انتگرال دوبل مساحت
ناحیه Rرا بدست می دهد)
V R f x,ydA
خسرو حجتي
:مثال
x y z1
حجم یک چهار وجهی که توسط سطح a b cو سطوح
:مختصات محدود شده را پیدا کنید
:حل
x
zc1 y a
b
در صفحه xyمنحنی
Cخطx y1
a b
است لذا خواهیم داشت :
خسرو حجتي
تمرين :اگر Dمثلثي به رئوس (0و)0و
) ( , ),( ,0باشد انتگرال زير را روي
Dمحاسبه كنيد:
x
(cos
x
y
)
dA
) ( ,
D
x
=y
)( ,0
خسرو حجتي
x
0
xcos(x y)dy]dx
0
I xsin(x y)]0 dx xsin2xdx
0
x
0
u x dudx
1
dvsin2xdx v cos2x
2
خسرو حجتي
1
1
I xcos2x cos2xdx 0
2
2
1
1
xcos2x sin2x 0
2
4
2
خسرو حجتي
تمرين :مساحت ناحيه تمرين قبل را
به كمك انتگرال دوگانه محاسبه
:كنيد
x
x
dy
]
dx
y
]
dx
xdx
0
0
0
0
) ( ,
x
)( ,0
=y
0
1 2
2
0
1 2
x
2
خسرو حجتي
تمرين :اگر Dذوزنقه اي به رئوس
(0و =o)0وA=(1,0),B=(1,
)2),c=(0,1
باشد انتگرال زير را روي Dمحاسبه
كنيد:
I
(1 x) sinydxdy
D
خسرو حجتي
y 2 1 2
BC:
1
x 1 0 1
y x 1
B
C
O
خسرو حجتي
y=
x+
1
A
حل:
1
x1
I (1 x) sinydydx
0
1
0
(1 x) cosy
x1
0
0
1
( (1 x) cos(1 x) (1 x) cos0)dx
0
1
( cos(1 x) xcos(1 x) 1 x)dx
0
خسرو حجتي
u x dudx,
dvcos(1 x)dx v sin(1 x)
1
خسرو حجتي
sin(1 x) (xsin(1 x)
2
I
x
sin(1 x)dx x
2 0
1
sin2 sin2 cos2 1
2
sin1 0 cos1 0 0
تمرين :مساحت ناحيه تمرين قبل را
به كمك انتگرال دوگانه محاسبه
:كنيد
1
1
1 x
1 x
A dydx y 0 dx
0
2
x
0
0
3
(x 1)dx x 0
2
2
1
1
0
خسرو حجتي
انتگرال داده شده را روي:تمرين
: محاسبه كنيدD ناحيه
I e dA, D (x, y) : x y 1
x y
D
x+
حل:
y=
1
x-
1
=
y=
1
-y
خسرو حجتي
x y 1
x y 1
1
=
x y 1 -x+y
x y 1
-x
x 0, y 0
x 0, y 0
x 0, y 0
x 0, y 0
1 y
1
0
I e dxdy
0
1
1
y 1
x y 1 y
e
1 y y
0
(e
1
خسرو حجتي
x y 1 y
0
y1 y
y 1 y
e
dy
y 1
)dy
y 1 y
e
x y
y 1
1
(e
0
e
dxdy
dy
e
y 1
0
1
x y
1 y
)dy
1
I (e e
0
0
)dy (e
2y 1
1
2y1
1
e )dy
1 2y 1 1 1 2y1 1 0
(ey e ) 0 ( e e y) 1
2
2
1 1 1 1 1 1 1
1
e e e e e e e e
2 2
2 2
خسرو حجتي
تمرين :مساحت ناحيه تمرين قبل را
به كمك انتگرال دوگانه محاسبه
:كنيد
y1
dxdy
2
y 1
0
1 y
1
1
0
A dxdy
y 1
خسرو حجتي
تمرين :انتگرال داده شده را روي
ناحيه Dمحصور بين دو هذلولي
xy=1 , xy=2و خطوط
y=x, y=4xواقع در ربع اول
كنيد:
محاسبه
2 2
I x y dxdy
D
خسرو حجتي
4x
y=
xy= 1
xy 1
A:
x2 1 x 1 y
y x
xy 2
B:
x2 2 x 2 y
y x
ََ C
y=
x
ََ D ََ B
xy=2
ََ A
xy 2
2
2
C:
4x 2 x
y 2 2
2
y 4x
xy 1
1
2
D:
4x 1 x y 2
2
y 4x
خسرو حجتي
حل:
2
2
y
I x y dxdy
1
2 2
2
2
خسرو حجتي
2
2 2
2
2
1
y
2
y
2
x y dxdy
2 2
y
1
4
y
x y dxdy
2 2
y
4
1 3 2
xy
3
2
y
dy
1
y
2
y
y
2 2 1
1 3 2
3 2
xy
dy
xy
dy
2
y
y
3
3
4
4
2
I
1
2 2
2
2
2
8
3y
8
3y
2
1
dy
2
3y
2
1 5
y dy
1
192
2 2
47 5
y dy
2
48
2
1 5
1 5
y
y dy
192
3
7
dy
3y
8
1 5
y dy
3y 192
2
7
47 6
8
1
6
Lny
y
Lny
y
3
486 2
3
1926
1
خسرو حجتي
2 2
2
2
2
7
47 6
8
1
6
Lny
y
Lny
y
3
486 2
3
1926
1
2 2
2
3
7
47 3
47 6 8
I Ln2
2
2 Ln2 2
3
486
486
3
1
1
8
1
9
3
2
2 Ln2
2
1926
3
1926
7
47 47
4 4
1
Ln2
4Ln2 Ln2
3
36 9
3 3
144
755
5Ln2
144
خسرو حجتي
b a1 y
b
V 0 0
x dxdy
c1 y a
b
xy
c0 x
2a b
x2
b
a 1 y
b
dy
0
ac0 1
2
b
ac1y
2
خسرو حجتي
y y2 dy
b 2b2
y2
3
y
2
2b 6b
b
abc
6
0
ادامه جواب:
نكته كاربردي :1اگر ناحيه انتگرال
گيري Rنسبت به محور yها
متقارن و fروي xفرد باشد ،چون
) f(-x,y)=-f(x,yآنگاه:
f
(
x
,
y
)
dxdy
0
R
خسرو حجتي
مثال)1-2-14(:
2
f (x, y) 2xy
2
R: y 2 x , y x
2
xydA
0
ناحيه Rبين دو منحني محصور
است.
R
خسرو حجتي
نكته كاربردي :2اگر ناحيه انتگرال
گيري Rنسبت به محور yها
متقارن و fروي xزوج باشد ،چون
) f(-x,y)=f(x,yآنگاه:
f
(
x
,
y
)
dxdy
R
f
(
x
,
y
)
dxdy
2
rightsideo
fR
خسرو حجتي
مثال)1-2-36(:
مساحت دايره به شعاع rروي ناحيه
: Dكافي است از تابع
f(x,y)=1روي ناحيه و با توجه
به نكته بيان شده انتگرال دو گانه
r x
بگيريم:
r
2
2
1
dxdy
?
0
2
r
خسرو حجتي
r
s 2
r
r
2
r2 x2
r
1dxdy2r
0
2
x0
r2 x2
2
r x dx
r
x r sin dxr cosd , j r
2
s 2 r cos d
r
خسرو حجتي
2
2
2
2
2
(1 cos2 )d r
2
2
نكته كاربردي :3اگر ناحيه انتگرال
گيري Rنسبت به محور xها
متقارن و fروي yفرد باشد ،چون
) f(x,-y)=-f(x,yآنگاه:
f
(
x
,
y
)
dxdy
0
R
خسرو حجتي
نكته كاربردي :4اگر ناحيه انتگرال
گيري Rنسبت به محور xها
متقارن و fروي yزوج باشد ،چون
) f(x,-y)=f(x,yآنگاه:
f
(
x
,
y
)
dxdy
R
f
(
x
,
y
)
dxdy
2
upsideofR
خسرو حجتي
انتگرال تریپل (سه گانه )
خسرو حجتي
:انتگرال سه گانه
مشابه انتگرال یک گانه و دو گانه تقسیمات جزئی
حجمی را در نظر می گیریم و حجم ناحیه را محاسبه
می کنیم (برای توابع سه متغیره )
f
x
,
y
,
z
dv
R
f x, y,zdxdydz
x1
x0
y1
y0
z1
z0
خسرو حجتي
که با جایگذاری مناسب مشابه انتگرال دوگانه
:می توان بشکل زیر فرمول را تبدیل کرد
R f x, y,zdv
f x, y,zdxdydz
f2 z 2 y,z
f1z 1 y,z
z2
z1
خسرو حجتي
:مثال
ممان اینرسی Ixجسم جامدی را که با استوانه
2
2
2
x y aو سطوح z=bو z=0محصور شده
حول محور ( xمطابق شکل ) تعیین می کنیم ( با فرض
چگالی ثابت (
خسرو حجتي
. با فرمول زیر بدست می آیدx چون فاصله هر نقطه از محور
2
2
2
r f x, y,z y z
2
2
Ix R y z
4
a
0
2
ax
2
0
بنابراین خواهیم
داشت:
dv
2
2
3
4
a
0
خسرو حجتي
0
ax
2
y z dzdydx
b
0
2
پاسخ:
2 b
by dydx
3
3
3
by b y a x
4 0
dx
3
3
0
2
2
a
2
2
2
4b a 2 2
a
b
x
a
x
dx
0
3
اگر در نظر بگیریم:
x asin
dxacosd
x a
خسرو حجتي
2
x 0 0
2
2
4a b 2 2 2 2 2
0 a b a sin cosd
3
2
2
4a b 2 2 a
a b
3
2 10
2
2
2
6a b
3a 4b
12
خسرو حجتي
:تعریف ژاکوبین
فرض کنید ) u=u(x,yو ) v=v(x,yدو تابع
دومتغیره پیوسته باشند بطوریکه مشتقات جزئی مرتبه
اول پیوسته داشته باشند لذا
دترمینان
تابعی uو v
نسبت به xو
y
v
x
v
y
uv uv
u
x y y x y
u
x
u,v u,v
J
x, y x, y
خسرو حجتي
در مورد تابع سه متغیره ژاکوبین بطور مشابه چنین
u ux, y, z
v vx, y, z
تعریف می شود:
فرض
کنیم:
w wx, y, z
u
x
u,v,w u,v,w u
J
y
x, y, z x, y, z u
z
خسرو حجتي
v
x
w
x
v
y
w
y
v
z
w
z
تعریف قبل بهمین ترتیب برای توابعی با بیش از سه متغیر نیز
.تعمیم می یابد
از ژاکوبین برای تغییر متغیر انتگرالهای چندگانه استفاده می
y yu, v,
الزم, y
dA
شودxدرR f
انتگرال
شود .بدین ترتیب که اگر
متغیر,باu
دادنx
x
v
قرار
تغییر داده شود عبارت dAبرحسب جمالت uو vبدین
صورت تغییر می کند :
x, y
dA J
dudv
u,v
خسرو حجتي
به عنوان مثال در تغییر متعیر به مختصات قطبی:
x cos , y sin
cos
sin
x, y
J
, sin cos
2
2
cos sin
dA d d
خسرو حجتي
:بنابراین بطور کلی داریم
x, y
f
x
u
,
v
,
y
u
,
v
|
J
dudv
u,v
F u,vdudv
f x, ydA
R
R
R
.و بطور مشابه نیز برای توابع سه متغیره محاسبه می شود
خسرو حجتي
تغییر متغیر
خسرو حجتي
:مثال
انتگرال دوگانه زیر که در دستگاه دکارتی است را به دستگاه
:قطبی تبدیل و سپس محاسبه می کنیم
2
0
o r a
2
2
x r cos
y r sin
2
a x y dydx
2
2
ax
تغییر متغیر :
به قطبی
I 0 0
a
خسرو حجتي
I
2
0
a
0
2
2
a r rdrd
3 a
2
1
2
a r 2 |
3
0
3
02
a
3
3
خسرو حجتي
a
3
d
a
3
3
a
3.2 6
|
2
0
بهمین ترتیب تغییر متغیر (برای توابع سه
متغیره ) به دستگاه مختصات استوانه ای بطور
:خالصه چنین می شود
Ir, ,z r
وتغییرمتغیر به دستگاه مختصات کروی برابر است
:با
2
I , , sin
خسرو حجتي
:مثال
اگر جسمی باشد که در ناحیه اول مختصات قرار
2
2
2
کرهx y z
16
داشته باشد و توسط
و صفحات مختصات محصور شده باشد .
xyzdv
را الف) با استفاده از مختصات کروی
S
.ب) با استفاده از مختصات استوانه ای پیدا کنید
خسرو حجتي
J
xyzdv
S
2
2
حل قسمت الف:
4
cos
sin
sin
sin
0
0
0
2
. cos . sin d d d
6
4
6
2
2
3
0
sin cos
sin cosdd
0
2
tan 2
0
خسرو حجتي
:ادامه قسمت الف
6
3
4 1 2
.
sin cos dv
6 20
4
6
4 4
48 3
خسرو حجتي
xyzdv
16 r
4
)دنباله حل مثال(قسمت ب:
2
r
cos
r
sin
zrdzdrd
2
0
0
خسرو حجتي
0
4
1
2
2
0
0
2
z
16 r
0
2
3
r cos sind
ادامه قسمت ب:
1
2
2
0
4
0
2
16 r
r cos sindrd
6
3
4
16
r
2
4
r
cosd
2 0 4
60
1
خسرو حجتي
:ادامه قسمت ب
6
2 cos sind
0
6
4
4
6
4
6 3
.بنابراین از هر طریق جواب یکی است
4
4
4
4
4
1
2
خسرو حجتي
:انتگرال خطی
مقدمه :می دانیم حاصلضرب تغییر مکان و مولفه نیروی
وارده در جهت تغییر مکان را کار انجام شده توسط این
.نیرو گویند
بعبارت دیگر اگر Fنیرو وR
F .R F R cos
تغییر مکان باشد :
مولفه Fدر امتداد تغییر مکان
خسرو حجتي
منحنی نمایش یک تابع برداریr
فرض کنیم که C
در فاصله (F )a,b
باشد و یک نیروی برداری باشد
باشد وF
که در روی Cتعریف شده .r
در فاصله
[]a,b
قابل انتگرال گیری باشد .در اینصورت کار انجام شده
توسط نیروی Fبرای بحرکت در آوردن یک ذره در
) r(b
امتداد Cاز ) r(aتا
b
عبارت است از :
w a F rt.rtdt
خسرو حجتي
:مثال
اگر نیروی F x, y y i x y j
را داشته باشیم مقدار کار انجام شده توسط این نیرو را
برای بحرکت درآوردن ذره ای در امتداد y=xاز
)A(0,0
تا ) B(1,1را بدست آورید .
خسرو حجتي
پاسخ:
x t
Rt xti yt j
y t
ti tj
0t 1
x t 0 x 1 0t 1
Rt i j
1
خسرو حجتي
ادامه مثال:
F Rt ti t t j ti
w 0 F Rt.Rtdt
1
w 0
1
خسرو حجتي
3
2
2
tdt t
3
2
0 3
1
2
انتگرال روی خم:
a t b: t, t عبارت از خمC
: C در مسیرf(x,y) انتگرال روی خم
C f x, yds
a f t, t. t , t dt
b
خسرو حجتي
2
2
:مثال
x
انتگرال روی خم روبرو را محاسبه کنیدC ye ds:
که Cعبارت است از خم زیر :
1
y 2tan t t 3
2
x Ln 1 t
,0 t 1
خسرو حجتي
x
C
ye ds
1
1
2tan
0
پاسخ:
t t 3
2
1 t
2
.
2t 2
2
2 1dt
1 t 1 t
خسرو حجتي
1
1
2tan t t 3
dt
2
1 t
0
1
1
1
1 t dt
2 tan tdtan t
0
1
dt
1 t
3
خسرو حجتي
0
2
ادامه پاسخ:
1
0
t
2
2
1
2tan t Ln1 t
2
1
1
3tan t
2
2
1
0
1
3
Ln2
16 2
4
خسرو حجتي
ادامه پاسخ:
مثال :
I C xydx y xdy
مطلوبست محاسبه انتگرال
در مسیر خطهای زیر که دو نقطه ( )0,0و ( )1,1را
بیکدیگر وصل می کنند :
الف) خط : y=x
:حل
1
3
31
0
x
1
3
x
x
x
dx
2
1
0
I
خسرو حجتي
y=x2 :
ب)سهمی
x
2
x
x
x
dx
3x 2x dx
I
1
1
3
2
0
3
2
0
3 4 2 31 3 2 1
x x
4
3 0 4 3 12
خسرو حجتي
حل:
y2=x :
1
I x x x x
0
2
3
1
1 2
2
1
x 1 x dx
0
2
1
3
2
1
2
1
2
dx
ج) سهمی
حل:
5
2
3
21
2
1 13
x x . x
5
2 22
خسرو حجتي
2 1 1 17
0 5 2 3 30
دیفرانسیل کامل یا واقعی
خسرو حجتي
:یادآوری
:با فرض اینکه x F x
fباشد داریم
F x f tdt
x
a
f(x)dxدیفرانسیل )F(x
است
خسرو حجتي
بطور مشابه اگر ) P(x,yو ( Q )x,yدو تابع دو متغیره
باشند آنگاه در صورتیکه برای
() 1
P(x,y)dx+ Q (x,y)dy
تابعی مثل ) F(x,yوجود داشته باشد که
Qx, y F x, y
y
Px, y F x, y
x
خسرو حجتي
دراینصورت رابطه ( )1را دیفرانسیل واقعی یا
کامل) F(x,yگویند و یا بعبارت دیگر برای تابع
) F(x,yدیفرانسیل واقعی یا کامل چنین تعریف
می شود :
dF Fdx Fdy
x
y
خسرو حجتي
: 1 مثال
F x, y xy
dFx, y ydx xdy
خسرو حجتي
:2 مثال
x
y 0 با فرض
F x, y
y
ydx xdy
dF
2
y
خسرو حجتي
:قضیه
شرط الزم و کافی برای آنکه P(x,y)dx+ Q
(x,y)dy
یک دیفرانسیل کامل باشد این است که
pQ
y x
خسرو حجتي
مثال :3
اگر P(x,y)=yو (Q-=)x,y
آنوقت
p
Q
1
1
y
x
xباشد
بنابراین ydx-xdy
دیفرانسیل کاملی نیست .
خسرو حجتي
: 4مثال
آیا عبارت روبرو دیفرانسیل کاملی است ؟
x
x y 1e
y
y
x
e dx e x y 1e dy
بله زیرا: حل:
x y
x y
x
y
1
e
e
e
e
y
y
x y
x
e x y 1e e e
x
خسرو حجتي
میدانهای برداری کنسرواتیو
:یا میدانهای برداری نگهدارنده
اگر تابع اسکالر Fبنحوی وجود داشته باشد که
F
بردار داشته V
باشیم
برای V
در اینصورت
Fرا پتانسیل یا (نگهدارنده ) نامند .
دراینصورت Vرا یک میدان برداری کنسرواتیو
:نامند و داریم
V 0
خسرو حجتي
:مثال
ثابت کنید که عبارت زیرکنسرواتیو است و تابع
.پتانسیل آن را بدست آورید
V x 2y zi 2x y z j
x y 2zk
خسرو حجتي
V
طبق تعریف:
خسرو حجتي
i
j
k
حل:
x
y
z
0
x 2y z
2x y z
x y 2z
یک میدان برداری کنسرواتیو
است.
V
F F V
F F F
F i
j k
x
y
z
V1i V2 j V3k
F
V1 x 2y z
x
F x, y, z
1
2
: ادامه جواب
x, y, zdx
2
x 2yx zx E y, z 1
F
2x Ey y, z V2 2x y z
y
E y, z y z
خسرو حجتي
E y, z y zdy
: ادامه جواب
1 2
y yz hz 2
2
1 2
1,2 F x, y, z x 2xy zx
2
1 2
yz y hz 3
2
F
x y hz z V3
z
خسرو حجتي
: ادامه جواب
,V3 x y 2z hz z 2z
2
hz 2zdzz c 4
1 2
3,4 F x, y, z x 2xy
2
1 2 2
zx y z z c
2
خسرو حجتي
کرل (چرخه ) چرخش
خسرو حجتي
:تعریف کرل
اگر تابع برداری uدر همه نقاط تعریف شده مشتق
پذیر باشد در اینصورت :
curl
u u i j k u
z
x y
k
j
i
z
y
x
u1 u2 u3
خسرو حجتي
مثال:
: ) محاسبه کنید1,1,1( را در نقطهu کرل
2
2
u xyzi 2x yzj 2yz k
حل:
curlu
i
j
k
x
y
z
2
2
xyz zx yz 2yz
خسرو حجتي
: ادامه جواب
2
2
3
2z 2x y i xyj 4xyz xz
u1,1,1 4i j 5k
خسرو حجتي
:تعریف عملگر الپالسین
2
2
2
2
. 2 2 2
x y z
2
2
2
u u u
u 2 2 2
x y z
2
اگر
2
u 0
دراینصورت uرا تابع هارمونیک گویند .
خسرو حجتي
. ) محاسبه کنید1,0,1( را در نقطهu
2
2
2
3
مثال:
الپالسین
u 6x y z x
2
2
2
u u u
u 2 2 2
x y z
2
2
2
2
2
2
2
12y z 6x 12x z 12x y
2
u1,0,1 0 6 12 018
خسرو حجتي
انتگرال رویه ای
برای تعریف و محاسبه مساحت و سطح رویه از انتگرالهای
چندگانه استفاده می کنیم :
Sقسمتی از سطح رویه که بوسیله منحنی بسته محدود
شده و )Z=f(x,yمعادله سطح رویه S
(با شرط اینکه هر خط موازی با محور zفقط در یک نقطه
سطح Sرا قطع کند محاسبات قابل انجام شدن است .
خسرو حجتي
N
z
s'
s
s
y
R
x
R
c
287
خسرو حجتي
Cتصویر روی سطح xyو زاویه هادی خط
عمود بر Sیا قائم بر Sاست و پس از تقسیمات جزئی
روی مساحت ومجموع و حدگیری بطور خالصه و در نتیجه:
S R secdA
2
2
z z
1 dxdy
R
x y
خسرو حجتي
بطور مشابه اگر بر سطوح دیگر مختصات نیز تصویر کنیم با
توجه به زوایای هادی فرمولهای مشابهی حاصل می شود و
بطور کلی انتگرال تابع ) u(x,y,zروی سطح
) z=f(x,yرا میتوان چنین تعریف نمود :
ux, y, zds
2
2
f f
1dxdy
x y
R
S
u x, y, f x, y
R
خسرو حجتي
:مثال
2
2
2
1
مساحت قسمتی از استوانه x y aرا که در
8
اول دستگاه مختصات بین سطوح Z=0و Z=mx
قرار گرفته حساب کنید .
خسرو حجتي
:حل
بدیهی است که فقط این سطح روی صفحات
xzیا
xyقابل تصویر نمودن است چون
قائم بر سطح xyروی سطح قرار دارد لذا روی
xyقابل تصویر نمودن نیست .
حال با تصویر روی xzداریم :
291
خسرو حجتي
CAB
2
2
y y
sec 1
x x
2
2
2
y a x
2
x
sec 0 2
1
2
a x
2
2
a a x
خسرو حجتي
1
2
S
a
a
0
0
0
1
2
2
2
a a x dzdx
2
1
2
2
amx a x dx
2
a m
خسرو حجتي
mx
: ادامه جواب
:مثال
انتگرال رویه ای ux, y, zds
R
را در صورتیکه رویه
2
2
Z
2
x
y
سهمیگون
بوده و u=1است
بنابراین S
محاسبه کنید ( .توضیح اینکه چون u=1است ds
S
یعنی مقدار انتگرال رویه ای همان سطح رویه Sاست (.
خسرو حجتي
حل:
S
ux, y, zds
R
خسرو حجتي
1 2x 2y dxdy
2
R
2
2
2
1 4x 4y dxdy
: می نماییمxy تصویر را روی صفحه
: ادامه جواب
2
2
2
2
R: Z 0 2 x y 0 x y 2
2
S 4
4
خسرو حجتي
2
0
2
0
0
2
1 4r rdrd
3
2 2
1
1 4r
12
2
13
d
3
0
:تعریف دیورژانس واگرائی
ux, y, z u1i u2 j u3k
تابع برداری مفروض :
اگر تابع برداری uدر تمام نقاط تعریف شده مشتق پذیر باشد .
دیورژانس تابع uعبارت است از :
divu .u i j k .u
y
z
x
u1 u2 u3
x y z
خسرو حجتي
مثال:
: ) حساب کنید1,1,1( را در نقطهu دیورژانس
3
5
u xyzi y zj xyzk
2
9
divu yz 3y z 5xyz 1 3 59
خسرو حجتي
:قضیه گرین در صفحه
F x, y Px, yi Qx, y j
اگر Rیک میدان درصفحه xyباشد که توسط منحنی C
محدود شده ( منحنی بطوری است که هر خط موازی
محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع نکند )
اگر Pو Qتوابعی پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول
پیوسته باشند در اینصورت
cPdx Qdy
Q P
x y dxdy
خسرو حجتي
:مثال
.با استفاده از قضیه گرین انتگرال خطی زیر را محاسبه نمائید
dx 2xydy
2
2
I c x y
2
2
c: x y 1
:حل
2y 2ydxdy
I
R
4
ydxdy
R
خسرو حجتي
40 0 rsin rdrd
2
1
2
1
40
3
3
r sin
1
d
0
4 2
0 sind
3
4
4
2
cos
0
3
3
خسرو حجتي
4
3
0
: ادامه جواب
:تبصره
قضیه در حالتیکه منحنی بسته Cطوری باشد که
هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو
نقطه قطع کند نیز صادق است .
خسرو حجتي
:مثال
انتگرال خطی زیر را روی مسیر داده شده حساب کرده و سپس با
:استفاده از قضیه گرین مقدارانتگرال را بدست آورید و مقایسه کنید
I c ydx 2xdy
R x, y |0 x 1,0 y 1
خسرو حجتي
حل:
I cc c c c
1
2
3
4
طبق قضیه گرین می توان
چنین نوشت:
y 0 dy0
c1 روی مسیر
0 x 1 dxdx
x 1 dx1
c2 روی مسیر
0 y 1 dydy
خسرو حجتي
: ادامه جواب
y 1 dy0
c3 روی مسیر
0 x 1 dxdx
x 1 dx0
c4 روی مسیر
0 y 1 dydy
خسرو حجتي
: ادامه جواب
I 0 0dx 2x0 0 y0 2dy
1
1
1 dx 2x0 1 y0 20dy
0
0
0 2dy 1 dx
1
1
2y
0
خسرو حجتي
0
0
x 2
1
11
حال با استفاده از قضیه گرین
I
2
1
dxdy
R
dxdy0 dx0 dy1
R
1
1
خسرو حجتي
نتیجه S :مساحت میدان Rرا می توان از یکی از فرمولهای
زیر بدست آورد :
S c xdy
dxdy
R
S c ydx
dxdy
R
1
S c ydx xdy
2
خسرو حجتي
:مثال
2
2
x y
بیضی
سطح
گرین
قضیه
از
استفاده
با
1
2
2
a b
:را بدست آورید
:حل
:می دانیم معادالت پارامتری مسیر بدینگونه است
Rt xti yt j
xt acost dx asintdt
yt bsint dybcostdt
خسرو حجتي
: ادامه جواب
S xdy0 acostbcostdt
2
2
1 cost
ab0 costdtab0
dt
2
ab 1
2 ab
t sin2t 2 ab
2 2
0 2
2
خسرو حجتي
2
2
:تبصره
در مختصات قطبی مساحت از فرمول زیر به روش قبل
:محاسبه می شود
2
S r d
1
c2
خسرو حجتي
:اولین فرم برداری قضیه گرین
F Pi Qj
Tبردار واحد مماس بر منحنی X t xti yt j
S dx Tds
پارامتر طول قوس منحنی
F.TdsF.dx Pdx Qdy( F).kdxdy( F).dA
R
کهdA
برداری است عمود بر میدان Rو به طول
c
c
c
dA dxdy
خسرو حجتي
:تعبير فيزیکی
اگر )F(x,y
Flo
یک
نمایانگر جهت ومیزان شار
w
)(x,y
در صفحه باشد انتگرال فوق عبارت
سیال در نقطه
از انتگرال مولفه ای از شار است که در جهت مماس بر
منحنی Cاست و بنام گردش Fدر اطراف نقاط مرزی
R.موسوم است
خسرو حجتي
قضیه دیورژانس (قضیه گرین در فضا)
:مقدمه
بردار نرمال خارجی یک رویه :برداریست که
بر رویه عمود بوده و جهت ان به طرف خارج رویه
.باشد
خسرو حجتي
مثال :اگر یک کره بمرکز مبدا مختصات و شعاع R
( ) X2 + Y2 + Z2 =R2داشته باشیم ،این
کره محور Zها را در نقطه Aو Bقطع می کند آنگاه
بردار نرمال خارجی این کره در دو نقطه Aو Bبه
ترتیب Kو K-یعنی در جهت مثبت ومنفی محور Z
یعنیB0,0, R, A0,0, R
ها خواهد بود
خسرو حجتي
:قضیه دیورژانس
.عمال تبدیل انتگرال سه گانه به دوگانه و بالعکس است
فرض کنید
Sیک رویه و Vفضای داخلی آن وn
بردار یکه نرمال خارجی بطوریکه تابع برداری S
عبارت
AازA A1i A2 j
3k
که 1Aو 2Aو 3Aتوابع
پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته باشند در
خسرو حجتي
A1 A2
A3
dV
x
y
z
v
A dydz A dxdz A dxdy
1
2
3
s
A cosu A cocv A coswds
1
s
خسرو حجتي
2
3
A.nds
.Adv
و یا
دیورژانس
که uو vو wزوایای بردار نرمال خارجی رویه Sدر
جهت مثبت مثلثاتی با محورهای مختصات است .
خسرو حجتي
مثال :قضيه ديور ژانس را در مورد مساله زير
.تحقيق كنيد
Fx, y, z x i y j z k
2
2
2
s x, y, z 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
319
خسرو حجتي
F .nds
حل:
.
F
dV
2
x
2
y
2
z
dzdyd
2x 2y 1dydx
1
2x 1y y dx
0
: قضیه
دیورژانس
V
1
0
1
S
1
0
1
0
.FdV
V
1
0
1
0
2
0
1
خسرو حجتي
2
x
2
dx
x
2x
0
2
1
0
3
z
G1
A
B1
x
F
D 1
E
C
O
y
321
خسرو حجتي
چنین است که از شش سطحS رویه: ادامه حل
: تشکیل شده بنابراین داریم
F .nds
S
s
s
s
s1 ABCD , n i
x 1
2
2
2
F .nds x i y j z k.ids
1
2
x
ds
dydz
1
s1
s1
2
s1
خسرو حجتي
1
0
1
0
6
ادامه جواب:
s2 GOEF,n i, x 0
F .nds
s2
2
s2
x ds0
s3 AGFD,n k, z 1
F .nds
s3
خسرو حجتي
2
z ds1
s3
ادامه جواب:
s4 BOEC,n k, z 0
2
F .nds z ds0
s
s
s5 DFEC,n j, y 1
2
F .nds y ds1
4
s5
خسرو حجتي
4
s5
S6 AGOB, n j, y 0
2
F
.
n
ds
y
ds
0
S6
S6
3
خسرو حجتي
دومين فرم برداري قضيه گرين (حالت خاص)
divFdxdy
c pdy qdxc F. nds
R
با توجه به
اينكه (
op oq
)
divF
.F
ox oy
326
خسرو حجتي
مثال:
اگر g
تابع اسكالري با مشتقات جزئي پيوسته
xy
باشد و
مرتبه اول در ميدان باز درsصفحه
R
ميداني در باشد sكه نقاط مرزي آن يك منحني
بسته ساده باشد c
ثابت كنيد
g
2
ds
gdxdy
n
c
R
327
خسرو حجتي
:حل
:مي دانيم مشتق جهت دار gدر امتداد nعبارت است از
og
g. n
on
:با جایگزاری داریم
og
ds g. n ds
.gdxdy
c on
c
R
328
خسرو حجتي
قضيه استوكس:
حالت كلي قضيه گرين :
s
طوري باشد كه تصاوير آن
فرض کنید كه رويه
در صفحات مختصات بوسيله يك منحني بسته
z f x, y
مسدود شده باشد ،اگر
)y=h(x,zو )x=g(y,zو
معادالت رويه s
پيوسته و داراي مشتقات
باشند و توابع f,g,h
نسبي مرتبه اول باشند .آنگاه اگر
A. nds
A.dr
c
S
با توجه به اينكه
A1, A2, A3
A A i A2 J A3 k
1
پيوسته و داراي مشتقات جزئي مرتبه اول پيوسته و d r dxi dy j dzk
329
خسرو حجتي
مثال:
قضيه استوكس را در مورد مسئله زير تحقيق
.كنيد
s
:
0
x
1
,
,
0
y
1
,
z
1
A Z i x j
:حل
:مي خواهيم تساوي زير (فرمول استوكس) را نشان دهيم
c
تصوير sروي xyاز چهارمسير c، c،وc
تشكيل شده
y
1
D
c3
c4
c2
x
B
E
c1
o
2
3
4
A.dr
A. n ds
c
330
خسرو حجتي
y
طرف اول
E
A.dr zi xj
. dxi dyj dzk zdx xdy
c
c
c
c
c
c
c
1
2
3
c4
dx1
o
D
c2
4
1
z 1: c1 : y 0,0 x 1 dy0
c3
c1
B
x
0
1
c2 : x 1,0 y 1 dx0
dy1
0
0
c3 : y 1,1 x 0, dy0
dx 1
c4 : x 0,1 y 0, dx0
0dy0
1
A.dr 1
c
331
خسرو حجتي
طرف دوم
i
j
z
x
A
x y
k
j k
z
0
n k چون رويهxy
موازي صفحه
sاست پس
A.n j k.k 1
Ands
1ds
ds
dxdy1
s
R
332
خسرو حجتي